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www.jyeoo.com 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 证明题；探究型。 2分析： （1）本题的突破口在于利用△．化简得出（m+2）＞0得出△＞0． （2）由求根公式得出x的解，由y=x2﹣2x1求出关于m的解析式． 2解答： （1）证明：∵mx﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程， 222∴△=[﹣（3m+2）]﹣4m（2m+2）=m+4m+4=（m+2）． 2∵当m＞0时，（m+2）＞0，即△＞0． ∴方程有两个不相等的实数根．（2分） （2）解：由求根公式，得∴∵m＞0， ∴∵x1＜x2， ∴x1=1，∴y=x2﹣2x1=．（4分） ﹣2×1=． ． 或x=1．（3分） ． 即y=（m＞0）为所求．（5分） （3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y=（m＞0）与y=2m（m＞0）的图象．（6分） 由图象可得，当m≥1时，y≤2m．（7分） 点评： 本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、用函数的观点看不等式等知识． 76．（2007?天津）已知关于x的一元二次方程x+bx+c=x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1． （1）试证明c＞0；
（2）证明b＞2（b+2c）；
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（3）对于二次函数y=x+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0与x1的大小． 考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系。 专题： 压轴题。 分析： （1）利用根与系数的关系，来可以求出c和两根之和、两根之积的关系式，然后利用已知条件就可以证明2
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www.jyeoo.com 题目结论； 22（2）利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣（b﹣1），x1?x2=c，把它们代入（x2﹣x1）可得出b﹣2b﹣4c+1，22然后再利用（x2﹣x1）＞1求出b﹣2b﹣4c＞0即可证明； （3）本题主要用作差法来比较y0与x1的大小，先把x0，x1分别代入方程得出关于y0，与x1的代数式，再用作差法比较大小． 2解答： 解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x+（b﹣1）x+c=0， ∵x1，x2是该方程的两个实数根 ∴x1+x2=﹣（b﹣1），x1?x2=c， 而x1＞0，x2＞x1+1＞0， ∴c＞0； （2）（x2﹣x1）=（x2+x1）﹣4x1x2=（b﹣1）﹣4c 2=b﹣2b﹣4c+1， 2∵x2﹣x1＞1，∴（x2﹣x1）＞1， 22于是b﹣2b﹣4c+1＞1，即b﹣2b﹣4c＞0， 2∴b＞2（b+2c）； （3）当0＜x0＜x1时，有y0＞x1， 22∵y0=x0+bx0+c，x1+bx1+c=x1， 22∴y0﹣x1=x0+bx0+c﹣（x1+bx1+c）=（x0﹣x1）（x0+x1+b）， ∵0＜x0＜x1， ∴x0﹣x1＜0， 又∵x2﹣x1＞1 ∴x2＞x1+1，x1+x2＞2x1+1， ∵x1+x2=﹣（b﹣1）∴﹣（b﹣1）＞2x1+1， 于是2x1+b＜0 ∵0＜x0＜x1 ∴x0+x1+b＜0， 由于x0﹣x1＜0，x0+x1+b＜0， ∴（x0﹣x1）（x0+x1+b）＞0，即y0﹣x1＞0， ∴当0＜x0＜x1时，有y0＞x1． 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=． 77．（2007?宁夏）二次函数y=ax+bx+c中，自变量x与函数y的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 ﹣ y ﹣2 1 2 1 ﹣2 ﹣ ﹣ （1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
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（2）一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 ③ ． ①②③
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2222 ?2010-2012 菁优网
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④
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考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质。 专题： 图表型。 分析： （1）二次函数的图象是抛物线，对称性是它的显著特点函数值y在x=1，y=2的左右两边对称摆布，由此可知点（1，2）是抛物线的顶点，此时，函数值最大，故开口向下； （2）在函数值由负值到正值过度过程中，就会有一个时刻y=0，方程的根就在这个过度范围内． 解答： 解：（1）开口向下，顶点坐标（1，2）； （2）∵y的值在1和﹣之间， ∴两个根x1，x2的取值范围是． 故选③． 点评： 解答此题的关键是求出对称轴，开口方向，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 78．（2007?茂名）已知函数y=x+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x1，x2，且x1+x2=c﹣2c，求c及x1，x2的值．
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考点： 抛物线与x轴的交点。 分析： 由函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x1，x2，联想到方程x2+2x+c=0有两个不相等的2实数根是x1，x2，而一元二次方程有实数根的前提是△=2﹣4c＞0即c＜1，再利用已知条件和两根关系解题． 2解答： 解：令y=0，即x+2x+c=0，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点． 2此时2﹣4c＞0，即c＜1． 由已知222， ∵x1+x2=c﹣2c， 22∴（x1+x2）﹣2x1x2=c﹣2c， 22∴（﹣2）﹣2c=c﹣2c， 2∴c=4， ∴c1=﹣2，c2=2（舍去）． 2当c=﹣2时，x+2x﹣2=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣． 综上：c=﹣2，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣为所求． 点评： 主要考查了二次函数图象与x轴的两交点的横坐标和一元二次方程根与系数之间的关系． 79．（2007?贵阳）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
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（1）写出方程ax+bx+c=0的两个根；
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（2）写出不等式ax+bx+c＞0的解集；
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www.jyeoo.com （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
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考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）。 分析： （1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可； （2）看x轴上方的二次函数的图象相对应的x的范围即可； （3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小； （4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可． 2解答： 解：（1）已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0），可得x1=1，x2=3；（2分） （2）依题意因为ax+bx+c＞0，得出x的取值范围为1＜x＜3；（2分） （3）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为x＞2；（2分） （4）由顶点（2，2）设方程为a（x﹣2）+2=0， ∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0）， ∴a=﹣2， ∴抛物线方程为y=﹣2（x﹣2）+2， 2y=﹣2（x﹣2）+2﹣k实际上是原曲线下移或上移|k|个单位．由图象知，当2﹣k＞0时，曲线与x轴有两个交点． 故k＜2．（4分） 点评： 本题考查的是二次函数的图象与实际应用的综合题；采用数形结合的方法可使问题简化． 80．（2006?淄博）已知关于x的二次函数y=x﹣mx+
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222与y=x﹣mx﹣
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，这两个二次函数的图象中的一条
与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点； （2）若A点坐标为（﹣1，0），试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小． 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质。 分析： （1）根据二次函数的判别式，可以判断函数的图象与x轴交点情况； （2）把A点坐标为（﹣1，0）代入函数解析式，求出m的值，令y=0，求出一元二次方程的解即可； （3）根据二次函数的性质判断其增减性； 解答： 2解：（1）对于关于x的二次函数y=x﹣mx+， 由于△=（﹣m）﹣4×1×2=﹣m﹣2＜0， 2所以此函数的图象与x轴没有交点； ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com 对于关于x的二次函数y=x﹣mx﹣由于△=（﹣m）﹣4×1×（﹣222， ）=3m+4＞0 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点． 故图象经过A、B两点的二次函数为y=x﹣mx﹣（2）将A（﹣1，0）代入y=x﹣mx﹣222； =0． ，得1+m﹣整理，得m﹣2m=0． 解之，得m=0，或m=2． 2当m=0时，y=x﹣1． 2令y=0，得x﹣1=0． 解这个方程，得x1=﹣1，x2=1， 此时，B点的坐标是B（1，0）； 2当m=2时，y=x﹣2x﹣3． 2令y=0，得x﹣2x﹣3=0． 解这个方程，得x1=﹣1，x2=3， 此时，B点的坐标是B（3，0）． 2（3）当m=0时，二次函数为y=x﹣1，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=0， 所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小． 22当m=2时，二次函数为y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，此函数的图象开口向上， 对称轴为x=1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小． 点评： 主要考查了二次函数的与x轴交点的求法，以及二次函数的增减性． 81．（2006?凉山州）已知抛物线y=﹣（x﹣1）+2的部分图象（如图所示），则图象再次与x轴相交时，交点的坐标是 （3，0） ．
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考点： 抛物线与x轴的交点。 分析： 利用二次函数的性质解答即可． 解答： 解：依题意可得该抛物线的顶点坐标为（1，2），如图，该抛物线经过点（﹣1，0），则图象再次与x轴相交时，交点的坐标与（﹣1，0）关于x=1对称，坐标为（3，0）． 点评： 本题考查的是二次函数的对称性． 82．（2006?莱芜）已知：关于x的二次函数y=﹣x+（m+2）x﹣m．
（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方；
（2）设二次函数图象与y轴交于A，过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B．若顶点P在第一象限，当m为何值时，△PAB是等边三角形． 考点： 抛物线与x轴的交点；等边三角形的判定。 2
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