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www.jyeoo.com 专题： 证明题；开放型。 分析： （1）只要求出顶点的纵坐标为正，就能确定顶点P总是在x轴的上方，根据顶点的纵坐标公式求解； （2）根据图形可以看出，对称轴把等边三角形分成两个全等的30°的直角三角形，根据点的坐标与线段的关系可以求解． 解答： （1）证明：二次函数y=﹣x2+（m+2）x﹣m中，a=﹣1，b=m+2，c=﹣m， ∴顶点P的纵坐标为∴顶点P总在x轴上方； （2）解：二次函数y=﹣x+（m+2）x﹣m与y轴交于点A（0，﹣m）， 顶点P（，）， ，﹣m）， ＞0， 2==＞0， 过P作PC⊥AB于C，则C（因为点P在第一象限，所以AC=，PC=， ∵△PAB是等边三角形， ∴∠PAC=60°， 由tan∠PAC=得2=（）， 整理得：（m+2）=2（m+2）， ∴m+2=2 ∴m=2﹣2， 即m=2﹣2时，△PAB是等边三角形． 点评： 解答此题的关键是求出对称轴，顶点纵坐标，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 83．（2006?荆州）已知y关于x的函数：y=（k﹣2）x﹣2（k﹣1）x+k+1中满足k≤3． （1）求证：此函数图象与x轴总有交点； （2）当关于z的方程
有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标．
2
考点： 抛物线与x轴的交点；分式方程的增根。 专题： 证明题。 分析： （1）本题可将函数分成一次函数和二次函数两种情况讨论：当k=2时，函数为一次函数，与x轴一定有交点； 当k≠2时，函数为二次函数，让y=0，根据根与系数的关系以及k的取值范围我们可判断出此时的方程是否有解，如果有解，则必与x轴有交点． （2）这个方程有增根，那么增根必为z=3，让方程去分母后，将z=3代入化简而得的整式方程中求出k的值，就可得出函数的关系式，有了函数关系式就能求出其与x轴的交点了． 解答： 解：（1）当k=2时，函数为y=﹣2x+3，图象与x轴有交点． 2当k≠2时，△=4（k﹣1）﹣4（k﹣2）（k+1）=﹣4k+12； 当k≤3时，△≥0，此时抛物线与x轴有交点． 2因此，k≤3时，y关于x的函数y=（k﹣2）x﹣2（k﹣1）x+k+1的图象与x轴总有交点． （2）关于z的方程去分母得：z﹣2=k+2z﹣6，k=4﹣z． ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com 由于原分式方程有增根，其根必为z=3．这时k=1 2这时函数为y=﹣x+2．它与x轴的交点是（﹣，0）和（，0）． 点评： 本题综合考查了分式方程，二次函数与一元二次方程的综合应用，要注意（2）中要学会利用增根来求解． 84．（2006?崇左）已知二次函数y=mx﹣mx+n的图象交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜x2，交y轴的负半轴于C点，且AB=5，AC⊥BC，求此二次函数的解析式． 考点： 抛物线与x轴的交点。 分析： 已知AB=5，可用韦达定理表示出AB的长，可得出一个关于m、n的方程； 已知AC⊥BC，根据射影定理得出另一个关于m、n的方程；将上述两式联立方程组即可求得m、n的值．也就得出了二次函数的解析式． 解答： 解：根据题意可知：m＞0，n＜0，且A、B分别在原点两侧． 2
根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=． ∵AB=5，∴|x2﹣x1|=5；即（x1+x2）﹣4x1x2=25， ∴x1x2=﹣6，即222．① ∵AC⊥BC，OC⊥x轴， ∴OC=OA?OB，即n=﹣x1x2=6，② 联立①、②得： ，解得； 即抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣． 点评： 此题要能够根据题意分析出图形的大概位置，然后综合利用一元二次方程根与系数的关系和已知条件得到待定系数的方程，从而求解． 85．（2005?嘉兴）已知函数y=x﹣4x+1 （1）求函数的最小值；
（2）在给定坐标系中，画出函数的图象；
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（3）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），求x1+x2的值．
2
考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的最值。 分析： 画抛物线的图象，关键是抓住抛物线的开口方向，对称轴，顶点，图象与x轴，y轴的交点坐标，描出抛物线的大致图象，其中，顶点也决定了函数的最大（小）值．同时，要明确方程的解，实质上是二次函数当y=0时，自变量的值，也就是图象与x轴交点的横坐标． 22解答： 解：（1）∵y=x﹣4x+1=（x﹣2）﹣3， ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com ∴当x=2时，y最小值=﹣3． （2）如图，图象是一条开口向上的抛物线．对称轴为x=2，顶点为（2，﹣3）． （3）由题意，x1，x2是方程x﹣4x+1=0的两根， ∴x1+x2=4，x1x2=1． 2222∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=4﹣2=14． 2 点评： 主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，这些性质和规律要求掌握． 86．（2005?新疆）如果二次函数y=ax+2x+c的图象的最高点是M（x0，y0），并且二次函数图象过点P（1，），若x取x0±n（n=1，2，3…）时，相应的函数值为y0﹣n． （1）求二次函数的解析式并画出图象；
（2）若二次函数图象与x轴的交点为A、B，求△PAB的面积．
2
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考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式。 专题： 压轴题。 分析： （1）二次函数解析式只涉及两个待定系数a，c．把x=1，y=及由顶点x0=﹣，y0=；得x=x0±n=﹣±n，y=y0﹣n=2﹣n．分别代入二次函数解析式即可； 2（2）△PAB的面积=AB×点P的纵坐标÷2． 解答： 解：（1）将P（1，），代入y=ax+2x+c中得a+c+2=， 并且a＜0， ∴x0=﹣，y0=22=2， ． ∴y=ax+2x+c=a（x+）+ ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com 当x=x0±n时，y=y0﹣n． 代入y=ax+2x+c=a（x+）+得：y0﹣n=a（x0±n+）+整理得：an+n=0， 解得：a=﹣， 把a=﹣代入a+c+2=得：c=0， ∴y=﹣x+2x； （2）由抛物线解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1，）， ∴S△PAB=×4×=3． 22222222 ， 点评： 主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，涉及的字母多，运算有一定难度，在确定了抛物线解析式后，可根据图形及相应点的坐标求面积． 87．（2005?乌鲁木齐）已知二次函数y=x+bx+c的图象过点M（0，﹣3），并与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）
22
两点，且x1+x2=10．试求这个二次函数的解析式． 考点： 抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式。 分析： 本题是用待定系数法求二次函数的解析式，由图象过点M（0，﹣3），可知c=﹣3，图象与x轴交于点A（x1，20）、B（x2，0）两点，就相当于方程x+bx﹣3=0两个根分别为x1，x2，由两根关系求解代入二次函数即可． 2解答： 解：∵函数y=x+bx+c图象过点（0，﹣3）， ∴c=﹣3， 2∴函数解析式为y=x+bx﹣3， 2又∵该二次函数图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，所以方程x+bx﹣3=0的两个根分别为x1，x2， 2
则有． 解得b=±2， 22∴二次函数为y=x+2x﹣3或y=x﹣2x﹣3．
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www.jyeoo.com 点评： 二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；与y轴的交点就是二次函数c的值；注意使用一元二次方程根与系数的关系求解关于两根的问题． 88．（2005?苏州）已知二次函数y=2x﹣mx﹣m．
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标． 考点： 抛物线与x轴的交点。 2分析： （1）依题意可得△=9m得出△≥0，可得出二次函数图象与x轴总有公共点； （2）把已知坐标代入可得m值，然后把m的值及y=0代入二次函数可求出点B的坐标． 222解答： 解：（1）△=（﹣m）﹣4×2×（﹣m）=9m， 22
∵m≥0， ∴△≥0． ∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； （2）把（1，0）代入二次函数关系式，得0=2﹣m﹣m， ∴m1=﹣2，m2=1， 2当m=﹣2时，二次函数关系式为：y=2x+2x﹣4， 2令y=0，得：2x+2x﹣4=0， 解得：x=1或﹣2， ∴二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是：（1，0），（﹣2，0）； 又∵A点坐标为（1，0），则B（﹣2，0）； 当m=1时，同理可得：B（，0）． 222点评： 利用二次函数与x轴的交点特征，转化为求△=b﹣4ac进行解答即可． 89．（2005?北京）已知：关于x的方程（a+2）x﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y=x﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁． （1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|=时，求a的值． 考点： 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。 2分析： （1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围．设抛物线y=x﹣（2a+1）x+2a2﹣5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，∴α、β是关于x的方程x﹣（2a+1）x+2a2﹣5=0的两个不相等的实数根，再利用方程x﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的根的判别式求a的取值范围，又∵抛2物线y=x﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定； （2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值． 2解答： 解：（1）∵关于x的方程（a+2）x﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根 22
∴ 解得：a＜0，且a≠﹣2 ① 2设抛物线y=x﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β 2∴α、β是关于x的方程x﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的两个不相等的实数根 22∵△=[﹣（2a+1）]﹣4×1×（2a﹣5）=（2a﹣1）+21＞0 ∴a为任意实数② 由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a﹣5 2∵抛物线y=x﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
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