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www.jyeoo.com （1）求证：此函数图象与x轴总有交点； （2）当关于z的方程
84．（2006?崇左）已知二次函数y=mx﹣mx+n的图象交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜x2，交y轴的负半轴于C点，且AB=5，AC⊥BC，求此二次函数的解析式．
85．（2005?嘉兴）已知函数y=x﹣4x+1 （1）求函数的最小值；
（2）在给定坐标系中，画出函数的图象；
（3）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），求x1+x2的值．
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有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标．
86．（2005?新疆）如果二次函数y=ax+2x+c的图象的最高点是M（x0，y0），并且二次函数图象过点P（1，），若x取x0±n（n=1，2，3…）时，相应的函数值为y0﹣n． （1）求二次函数的解析式并画出图象；
（2）若二次函数图象与x轴的交点为A、B，求△PAB的面积．
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87．（2005?乌鲁木齐）已知二次函数y=x+bx+c的图象过点M（0，﹣3），并与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）
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两点，且x1+x2=10．试求这个二次函数的解析式．
88．（2005?苏州）已知二次函数y=2x﹣mx﹣m．
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标．
89．（2005?北京）已知：关于x的方程（a+2）x﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y=x﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁． （1）求实数a的取值范围； （2）当|x1|+|x2|=时，求a的值．
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90．（2010?佛山）（1）请在坐标系中画出二次函数y=x﹣2x的大致图象；
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（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x﹣2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；
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（3）观察图象，直接写出方程x﹣2x=1的根．（精确到0.1）
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第23章《二次函数与反比例函数》中考题集（16）：
23.4 二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
解答题
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61．（2010?咸宁）已知二次函数y=x+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．
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（1）证明4c=3b；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值． 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的最值。 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式； （2）根据对称轴公式可求系数b，代入（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值． 解答： （1）证明：依题意，m，﹣3m是一元二次方程x2+bx﹣c=0的两根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（﹣3m）=﹣b，x1?x2=m（﹣3m）=﹣c， 2∴b=2m，c=3m， 22∴4c=3b=12m； （2）解：依题意，由（1）得22，即b=﹣2， ， ∴y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4， ∴二次函数的最小值为﹣4． 点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程根与系数关系的联系，待定系数法求二次函数解析式的方法． 62．（2010?十堰）已知关于x的方程mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
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（2）若关于x的二次函数y=mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式； （3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围． 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 计算题；证明题；压轴题。 分析： （1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根； （2）设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1，x2，则两交点之间距离为|x1﹣x2|=2，再与根与系数关系的等式结合变形，可求m的值，从而确定抛物线的解析式； （3）分三种情况：只与抛物线y1有两个交点，只与抛物线y2有两个交点，直线过抛物线y1、y2的交点，观察图象，分别求出b的取值范围． 解答： 解：（1）分两种情况讨论． ①当m=0时，方程为x﹣2=0，x=2． ∴m=0时，方程有实数根． ②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 2
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www.jyeoo.com 2△=[﹣（3m﹣1）]﹣4m（2m﹣2） 222=9m﹣6m+1﹣8m+8m=m+2m+1 2=（m+1）≥0， ∴m≠0时，方程有实数根． 故无论m取任何实数时，方程恒有实数根． 综合①②可知，m取任何实数，方程mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0恒有实数根； （2）设x1，x2为抛物线y=mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2与x轴交点的横坐标， 则x1+x2=由|x1﹣x2|=，x1x2=． 22= = =||． |=2， 由|x1﹣x2|=2，得|∴=2或=﹣2． ∴m=1或m=﹣． ∴所求抛物线的解析式为y1=x﹣2x， y2=﹣（x﹣2）（x﹣4）． 其图象如右图所示： （3）在（2）的条件下y=x+b与抛物线 y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象求b的取值范围． ， 22当y1=y时，得x﹣3x﹣b=0，有△=9+4b=0得b=﹣． 同理观察图象可知， 当b＜﹣，或b＞﹣，△=9﹣4（8+3b）=0，得b=﹣． 直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点； 由， ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com 当y1=y2时，有x=2或x=1． 当x=1时，y=﹣1． 所以过两抛物线交点（1，﹣1），（2，0）的直线为y=x﹣2． 综上所述可知：当b＜﹣或b＞﹣或b=﹣2时， 直线y=x+b与（2）中图象只有两个交点． 点评： 本题具有较强的综合性，考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况． 63．（2010?南京）已知点A（1，1）在二次函数y=x﹣2ax+b图象上． （1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征。 分析： （1）因为二次函数y=x2﹣2ax+b图象上的任何一点都满足方程式y=x2﹣2ax+b，所以，把点A（1，1）代入方程求解即可； 2
（2）根据b﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x﹣2x+1的图象与x轴交点的个数． 2解答： 解：（1）因为点A（1，1）在二次函数y=x﹣2ax+b的图象上，所以1=1﹣2a+b 可得b=2a（3分） （2）根据题意，方程x﹣2ax+b=0有两个相等的实数根，所以4a﹣4b=4a﹣8a=0 解得a=0，或a=2（5分） 当a=0时，y=x，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0） 22当a=2时，y=x﹣4x+4=（x﹣2），这个二次函数的图象的顶点坐标为（2，0） 所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0） 点评： 考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断． 64．（2010?娄底）已知：二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标
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是（﹣2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x﹣10x+24=0的两个根．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式． 考点： 抛物线与x轴的交点；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求二次函数解析式。 分析： （1）解方程求已知方程的两根，根据题意确定B、C两点坐标； （2）抛物线过A（﹣2，0），B（6，0），设交点式，把C（0，4）代入求待定系数即可． 2解答： 解：（1）解方程x﹣10x+24=0，得x1=6，x2=4， ∵OC＜OB， ∴B（6，0），C（0，4）； （2）∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0） 2222222
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