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www.jyeoo.com 设抛物线解析式y=a（x+2）（x﹣6） 把C（0，4）代入解析式，得 4=a（0+2）（0﹣6），解得a=﹣， y=﹣（x+2）（x﹣6） 即y=﹣x+x+4． 点评： 本题考查了解一元二次方程，点的坐标的求法，待定系数法求二次函数解析式的方法． 65．（2010?汕头）已知二次函数y=﹣x+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
2
2
考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的图象。 分析： （1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值； （2）令y=0，求抛物线与x轴的两交点坐标，观察图象，求y＞0时，x的取值范围． 2解答： 解：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x+bx+c中，得 ，解得∴y=﹣x+2x+3． 2． （2）令y=0，解方程﹣x+2x+3=0， 得x1=﹣1，x2=3，抛物线开口向下， ∴当﹣1＜x＜3时，y＞0． 点评： 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y＞0时，自变量x的取值范围． 66．（2009?肇庆）已知一元二次方程x+px+q+1=0的一根为2． （1）求q关于p的关系式；
2
（2）求证：抛物线y=x+px+q与x轴有两个交点；
2
（3）设抛物线y=x+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式． 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）把x=2代入可求得q与p的关系式； 22
（2）由△=b﹣4ac可判断抛物线与x轴的交点情况； （3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB的面积表达，从
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www.jyeoo.com 而求得最小值． 2解答： （1）解：由题意，得2+2p+q+1=0，即q=﹣（2p+5）； （2）证明：∵抛物线y=x+px+q与x轴有两个交点， 22∴一元二次方程x+px+q=0的判别式△=p﹣4q＞0， 222由（1）得△=p+4（2p+5）=p+8p+20=（p+4）+4＞0，（3分） 2∴一元二次方程x+px+q=0有两个不相等的实根．（4分） 2∴抛物线y=x+px+q与x轴有两个交点；（5分） （3）解：抛物线顶点的坐标为∵x1，x2是方程x+px+q=0的两个根， ∴， 22，（6分） ∴．（7分） ∴2，（8分） 要使S△AMB最小，只须使p﹣4q最小． 22由（2）得p﹣4q=（p+4）+4， 所以当p=﹣4时，有最小值4，此时S△AMB=1，q=3．（9分） 2故抛物线的解析式为y=x﹣4x+3．（10分） 点评： 考查了代入法、判别式△的使用，以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容． 67．（2009?新疆）（1）用配方法把二次函数y=x﹣4x+3变成y=（x﹣h）+k的形成．
2
（2）在直角坐标系中画出y=x﹣4x+3的图象．
2
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=x﹣4x+3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果）
22
（4）把方程x﹣4x+3=2的根在函数y=x﹣4x+3的图象上表示出来． 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征。 专题： 配方法。 分析： （1）含x的项即为完全平方公式展开的前两项，加上常数组成完全平方式，但后面应减去加上的常数； （2）找顶点左右两边的数，按顶点式画出函数图象； （3）应先判断出所给两点在对称轴的哪一侧，当在左侧时，y随x的增大而减小，在右侧时，y随x的增大而增大； 2（4）方程x﹣4x+3=2的根是函数图象上y=2时所对应的x的值． 222解答： 解：（1）y=x﹣4x+3=（x﹣4x+4）+3﹣4=（x﹣2）﹣1．（3分） （2）对称轴x=2，顶点坐标（2，﹣1） … 0 … x 1 2 3 4 … 3 … y 0 0 3 ﹣1 22
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www.jyeoo.com （6分） （3）y1＞y2（8分） （4）当y=2时，得： 2=（x﹣2）﹣1． ∴x=2±． 即y=2时所对应的x的值为2±．（10分） 点评： 本题考查二次函数的解析式的两种表达形式的转换以及读图等知识点，需注意抓住对称轴和交点是解决此类问题的关键． 68．（2009?黔东南州）已知二次函数y=x+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式； （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 压轴题。 2分析： （1）由判别式△=b﹣4ac可证明a为任一实数． （2）先求出两根之和及两根之积的值，再利用两点距离公式求解． （3）利用第2小题中两个交点的距离为来进行计算． 22解答： 解：（1）因为△=a﹣4（a﹣2）=（a﹣2）+4＞0， 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． 22
？若存在，
（2）设x1、x2是y=x+ax+a﹣2=0的两个根，则x1+x2=﹣a，x1?x2=a﹣2，因两交点的距离是所以22， ． 即：（x1﹣x2）=13 2变形为：（x1+x2）﹣4x1?x2=13 2所以：（﹣a）﹣4（a﹣2）=13 整理得：（a﹣5）（a+1）=0 解方程得：a=5或﹣1 又因为：a＜0 所以：a=﹣1 2所以：此二次函数的解析式为y=x﹣x﹣3．
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www.jyeoo.com （3）设点P的坐标为（x0，y0），因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于所以：AB= 所以：S△PAB=AB?|y0|= ， 所以：= 即：|y0|=3，则y0=±3 2当y0=3时，x0﹣x0﹣3=3，即（x0﹣3）（x0+2）=0 解此方程得：x0=﹣2或3 2当y0=﹣3时，x0﹣x0﹣3=﹣3，即x0（x0﹣1）=0 解此方程得：x0=0或1（11分） 综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（﹣2，3），（3，3），（0，﹣3）或（1，﹣3）． 点评： 要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并熟练运用． 69．（2009?宁夏）如图，抛物线y=﹣x+
2
x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标； （2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 抛物线与x轴的交点；勾股定理的逆定理。 专题： 证明题；探究型。 分析： 2（1）抛物线y=﹣x+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，分别将x=0，y=0代入求得A、B、C的坐标； （2）由（1）得到边AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理来判定△ABC为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x+∴﹣x+22x+2与x轴交于A、B两点， x﹣4=0． x+2=0．即x﹣2解之得：x1=﹣，x2=2． ∴点A、B的坐标为A（﹣，0）、B（2将x=0代入y=﹣x+ （2）∵AC=，BC=2222∴AB=AC+BC，
2，0）．（2分） x+2，得C点的坐标为（0，2）；（3分） ，AB=3， ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com 则∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形；（6分） （3）当PC∥x轴，即P点与C点是抛物线的对称点，而C点坐标为（0，2） 设y=2，把y=2代入y=﹣x+2x+2得：﹣x+2x+2=2， ∴x1=0，x2=． ∴P点坐标为（，2）．（8分） 点评： 此题考查了二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；与y轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 70．（2009?梅州）如图，已知抛物线y=﹣
x+
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x+与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）
考点： 抛物线与x轴的交点；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定。 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）分别令x=0，y=0从而求得点A，B，C的坐标； （2）利用（1）的结论即可求得AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形； （3）CD∥AB可得两个点，AC∥BD也可得到一个． 解答： （1）解：令x=0，得y=，得点C（0，）； 令y=0，得﹣x+2x+=0， 解得x1=﹣1，x2=3． ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）证明：因为AC=1+（）=4，BC=3+（222∴AB=AC+BC， ∴△ABC是直角三角形； （3）解：①如图：当CM∥AB时， ∵CM=AB=4， ∴M1（4，）； ②当AM∥BC时， ∵CM=AB=4， ∴M2（﹣4，）； 当AM∥BC时， ∵直线AC为：y=x+，直线BC为：y=﹣x+22222）=12，AB=16， 22， ?2010-2012 菁优网