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www.jyeoo.com ∴直线BM为：y=x﹣2，直线AM为：y=﹣x﹣， ∴M3（1，﹣）． ∴M1（4，），M2（﹣4，），M3（1，﹣）．（只写出一个给（1分），写出2个，得1.5分） 点评： 此题综合考查了二次函数与一元二次方程的关系，直角三角形的判定，平行四边形的判定等知识点． 71．（2009?娄底）已知关于x的二次函数y=x﹣（2m﹣1）x+m+3m+4． （1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
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（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1+x2=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式． 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 探究型。 2分析： （1）由△=b﹣4ac可写出用m表示的△关系式，分别讨论m在取不同的值时二次函数y的图象与x轴的交点的个数； 222（2）由根与系数的关系可把x1+x2转换为m的表达式，由此可得方程2m﹣10m﹣7=5，求出m的值可得二次函数解析式；则根据函数表达式可求出顶点M及与y轴交点C的坐标，使用代入法可求得直线CM的解析式． 22解答： 解：（1）令y=0，得：x﹣（2m﹣1）x+m+3m+4=0， 22∴△=（2m﹣1）﹣4（m+3m+4）=﹣16m﹣15， 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15＞0， 22
∴m＜﹣， 此时y的图象与x轴有两个交点； 当△=0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m﹣15=0， ∴m=﹣， 此时，y的图象与x轴只有一个交点； 当△＜0时，方程没有实数根，即﹣16m﹣15＜0， ∴m＞﹣， 此时y的图象与x轴没有交点． ∴当m＜﹣时，y的图象与x轴有两个交点； ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com 当m=﹣当m＞﹣ （2）由根与系数的关系得x1+x2=2m﹣1，x1x2=m+3m+4， 222222∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=（2m﹣1）﹣2（m+3m+4）=2m﹣10m﹣7， 22∵x1+x2=5， 2∴2m﹣10m﹣7=5， 2∴m﹣5m﹣6=0， 解得：m1=6，m2=﹣1， ∵m＜﹣， 2时，y的图象与x轴只有一个交点； 时，y的图象与x轴没有交点． ∴m=﹣1， ∴y=x+3x+2， 令x=0，得y=2， ∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）， 又y=x+3x+2=（x+）﹣， ∴顶点M的坐标为（﹣，﹣）， 设过C（0，2）与M（﹣，﹣）的直线解析式为y=kx+b， 解得k=，b=2， ∴所求的解析式为y=x+2． 点评： 本题考查了一元二次方程中△的应用，考查了学生分类讨论问题的能力；需注意灵活运用一元二次方程中根与系数的关系的求函数解析式；求函数解析式一般要用待定系数法． 72．（2009?黄石）已知关于x的函数y=ax+x+1（a为常数） （1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围． 考点： 抛物线与x轴的交点。 2分析： （1）需考虑a为0和不为0的情况，当a=0时图象为一直线；当a≠0时图象是一抛物线，由判别式△=b﹣4ac判断； （2）根据抛物线的纵坐标的顶点公式列出不等式则可解． 解答： 解： （1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（﹣1，0）． 2当a≠0时，依题意得方程ax+x+1=0有两等实数根． ∴△=1﹣4a=0， 2222
∴a=． ∴当a=0或a=时函数图象与x轴恰有一个交点； ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com （2）依题意有， 当4a＞0，4a﹣1＞0，解得a＞； 当4a＜0，4a﹣1＜0，解得a＜0． ∴a＞或a＜0． 当a＞或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方． 点评： 函数可能是一次函数，也可能是二次函数；只有一个交点，那么b2﹣4ac=0；顶点在x轴上方，那么顶点纵坐标大于0． 73．（2008?天津）已知抛物线y=3ax+2bx+c， （Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标； （Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围； （Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由． 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 压轴题。 分析： （Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可； （Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4﹣12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围； 22（Ⅲ）抛物线y=3ax+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax+2bx+c=0的实数根的个数，因此，2本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论． 2解答： 解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x+2x﹣1， 2
方程3x+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1，2． ∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（，0）； （Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x+2x+c，且与x轴有公共点． 对于方程3x+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤．（3分） ①当时，由方程3x+2x+=0，解得x1=x2=﹣． 2222此时抛物线为y=3x+2x+与x轴只有一个公共点（﹣，0）；（4分） ②当时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c； x2=1时，y2=3+2+c=5+c． 由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为， 应有即， 解得﹣5＜c≤﹣1． ?2010-2012 菁优网
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www.jyeoo.com 综上，或﹣5＜c≤﹣1．（6分） 2（Ⅲ）对于二次函数y=3ax+2bx+c， 由已知x1=0时，y1=c＞0； x2=1时，y2=3a+2b+c＞0， 又∵a+b+c=0， ∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b． ∴2a+b＞0． ∵b=﹣a﹣c， ∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0． ∴a＞c＞0．（7分） 2222∵关于x的一元二次方程3ax+2bx+c=0的判别式△=4b﹣12ac=4（a+c）﹣12ac=4[（a﹣c）+ac]＞0， 2∴抛物线y=3ax+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分） 又该抛物线的对称轴， 由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0， 得﹣2a＜b＜﹣a， ∴． 又由已知x1=0时，y1＞0； x2=1时，y2＞0，观察图象， 可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分） 点评： 借助图象，可将抽象的问题直观化；二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数． 74．（2008?长春）已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1=a（x﹣k）+2（k＞0），y1+y2=x+6x+12；当x=k时，y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=﹣1． （1）求k的值；
（2）求函数y1，y2的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由． 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 压轴题。 分析： （1）根据题意把y1代入y1+y2=x2+6x+12中即可求出y2，又当x=k时，y2=17，代入函数解析式，求出k的值； （2）根据k的值及y2的图象的对称轴求出a的值，即可求出二次函数的解析式； （3）根据题意画出各函数的图象，便可直接解答； 22解答： 解：（1）由y1=a（x﹣k）+2，y1+y2=x+6x+12， ∴y2=（y1+y2）﹣y1， 22
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www.jyeoo.com 22=x+6x+12﹣a（x﹣k）﹣2， 22=x+6x+10﹣a（x﹣k）， 又∵当x=k时，y2=17， 2即k+6k+10=17， ∴k1=1，或k2=﹣7（舍去）， 故k的值为1； （2）由k=1，得y2=x+6x+10﹣a（x﹣1）=（1﹣a）x+（2a+6）x+10﹣a， ∴函数y2的图象的对称轴为x=﹣∴∴a=﹣1， 所以y1=﹣x+2x+1，y2=2x+4x+11； （3）由y1=﹣（x﹣1）+2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下， 顶点坐标为（1，2）； 由y2=2x+4x+11=2（x+1）+9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为（﹣1，9）； 故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点． 22222222， =﹣1， 点评： 本题是一道函数压轴题，主要考查了二次函数的性质、一元二次方程等知识，难度比较恰当解第3小题时要学会画图，比较直观的看出它们是否有交点，再予以说明． 75．（2008?北京）已知：关于x的一元二次方程mx﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．
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