贮存费为 c2lim?t?0?g(?i)?ti?c2?g(t)dt?c2i?10nT(k?r)T0?T
2又? (k?r)T0?r(T?T0) ? T0?rr(k?r)T?T T , ? 贮存费变为 c2?k2k于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
c1c2r(k?r)T2c1r(k?r)T C(T)? ???c2T2kTT2k
cdCr(k?r). ??12?c2dT2kT 令dC?0 , 得T??dT2c1k
c2r(k?r)?? 易得函数C(T)在T处取得最小值，即最优周期为： T?2c1k
c2r(k?r) 当k??r时，T??2c1 . 相当于不考虑生产的情况. c2r 当k?r时，T??? . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小，我们作如下假设: ?(b)?k， b?1中的1是防止b?0时???而加的. 分母b?1c1?t12c1?2t12(b?1)c?tx(b?1)??21?c3x 总费用函数C?x??22(kx??b??)kx??b??最优解为 x??ckb12?2c2b(b?1)?(b?1)(b?1)??
k2c3k2?5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设
q(t)?q0??t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售
期分为0?t?T2和T2?t?T两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值，
使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为Q0，再求p1,p2的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为
T??a?bp1,0?t?2 x??
Ta?bp,?t?T?22?又? q(t)?q0??t.于是总利润为
?(p1,p2)??T20?p1?q(t)?(a?bp1)dt??T?p2?q(t)?(a?bp2)dt
2TTT???2?2?=(a?bp1)?p1t?q0t?t?2?(a?bp2)?p2t?q0t?t?T
2?2???02?p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2??)?(a?bp2)(??) =(a?bp1)(228228??p1Tq0T?T2T??b(??)?(a?bp1) ?p12282p2Tq0t3?T2??T??b(??)?(a?bp2) ?p22282令?????0,?0, 得到最优价格为: ?p1?p2?1??T?p?a?b(q?)?0??12b?4?? ??p2?1?a?b(q0?3?T)??2b?4????在销售期T内的总销量为
Q0??(a?bp1)dt??T(a?bp2)dt?aT?2T20TbT(p1?p2) 2于是得到如下极值问题：
p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2max?(p1,p2)?(a?bp1)(??)?(a?bp2)(??)
228228s.t aT?bT(p1?p2)?Q0 2aQ0?T?p??1b?bT?8 ?aQ0?T?p2???bbT8?利用拉格朗日乘数法，解得：
即为p1,p2的最优值.
第三章3（2008年10月21日）
6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费c1＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费c2＝0.18（元）.又现在的订货周期T0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：C(T)?得：C(T)?c11?c2rT?kr T22500?9T?100k T dC2500??2?9dTT250050? 93 令
dC?0 ， 解得：T*?dT* 由实际意义知：当T?5050（即订货周期为）时，总费用将最小. 333?250050?9??100k＝300＋100k 5032500 C(T0)??9?30?100k=353．33＋100k
302C(T0)－C(T*)＝（353.33＋100k）－（300＋100k）＝53．33.
350故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T*=，能节约费用约53．33元.
3 又C(T*)?
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克, B原料5千克；一件乙产品用
A原料2千克, B原料4千克.现有A原料20千克, B原料70千克.甲、乙产品每件售价
分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
?x?2y?20? s.t. ?5x?4y?70
?x,y?0,x,y?Z?这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线l1：x+2y=20, l2:5x+4y＝70
l2 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l：20x+30y=c在可行域内 l 平行移动.
易知：当l过l1与l2的交点时， l1 x S取最大值. 由??x?2y?20?x?10 解得?
5x?4y?70y?5?? 此时 Smax＝20?10?30?5＝350（元）
2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为
max z?20x1?10x2
?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13
?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线
l1:5x1?4x2?24
l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内
平行移动x2 .
l1
l2
x1
l
易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值 由?
?5x1?2x1?4x2?24?5x2?13 解得 ??x1?x2?4?1
zmax?20?4?10?1?90.
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3