个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：
max S=3x +2y
?2x?3y?100? s.t. ?4x?2y?120
?x?6,y?12,x,y?Z?这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解
可行域为：由直线l1：2x+3y=100, l2:4x+2y＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线l：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l2的交点时, S取最大值.
由??2x?3y?100 解得
?4x?2y?120 ??x?20.
y?20? Smax＝3?20?2?20＝100.
《数学模型》作业解答
第五章1（2008年11月12日）
1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：
（1）若s0?至s?.
（2）若s0?1?,则i(t)先增加，在s?1?处最大，然后减少并趋于零；s(t)单调减少
1?,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至s?.
解：传染病的SIR模型（14）可写成
?di?dt??i(?s?1) ?
ds????si?dtdsds由???si,知?0. s(t)单调减少. 而s(t)?0. ? lims(t)?s?存在.
t??dtdt故s(t)单调减少至s?.
（1）若s0? 当1?. 由s(t)单调减少. ?s(t)?s0.
di?0,i(t)单调增加;
?dt1di 当s?时,?s?1?0. ??0,i(t)单调减少.
?dt?s?s0时,?s?1?0. ? 又由书上(18)式知i??0. 即limi(t)?0.
t??1di?0. ?i(t)达到最大值im.
?dt11di（2）若s0?,则s?t??, 从而?s-1?0. ?0.
??dt 当s?1时, ?i?t?单调减少且limi?t??0.即i??0.
t??4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
a?4. b (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
?dx?dt??ay?dy???bx, ???1? ?dt?x?0??x,y?0??y00??0?a?现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A???
?b0???E?A??ba???2?ab?0. ??1,2??ab
??1,?2对应的特征向量分别为???2??2????， ????1??1??2???C2??1??e???x?t????2????1?的通解为??C1??y?t???1??e????再由初始条件，得
abtabt.
?x?x?t???0?y0?e?2?abt?x???0?y0?e??2?abt ???2?
又由?1?可得dybx?. dxay其解为 ay?bx?k, 而k?ay0?bx0 ???3?
2222(1) 当x?t1??0时，y?t1??k?a22ay0?bx0b3?y01??y0. aa2即乙方取胜时的剩余兵力数为
3y0. 2又令x?t1??0,由（2）得?x0???y0?e?2?abt1?x???0?y0?e??2?abt1?0.
注意到x0?y0,得e2abt1?x0?2y02. ?e2y0?x0abt1?3, ?t1?ln3. 4b(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则
?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4? ?dt?x(0)?x,y?0??y00?dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy. 相轨线为ay2?2ry?bx2?k, dy?bx由?4?得r?r2?222k?ay0?2ry0?bx.0或a?y???bx??k. 此相轨线比书图11中的轨线上移了
aa??r?b2r2r?.乙方取胜的条件为k?0,亦即?y0???x0?2.
a?aaa?22第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为?）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
中心室
f0?t? C?t?,x?t?
V 排除 V, kt? ,容积为解: 设给药速率为f0?t?,中心室药量为x?t?,血药浓度为C?排除速率为常数k,则x/?t??kx?t??f0?t?,x?t??VC?t?.
(1)快速静脉注射: 设给药量为D0, 则f0?t??0,C?0??D0D,解得C?t??0e?kt. VV(2)恒速静脉滴注(持续时间为?): 设滴注速率为k0，则f0?t??k0,C?0??0,解得
?k0?kt1?e, 0?t???Vk C?t???
k0?1?e?kte?k?t???,t???Vk????(3) 口服或肌肉注射: f0?t??k01D0e?k01t?见5.4节（13）式?，解得
?k01D0?k01t?kte?e,k?k01??V?k01?k? C?t??? kD?te?kt, k?k01??V??3种情况下的血药浓度曲线如下：
(1) (2) (3) O ? t
第五章3（2008年11月18日）