3． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk).试建2xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：
yk?1?y0???(xk?1?xk?x0),??0 --------------------（1） 2 xk?1?x0??(yk?y0),??0 --- ----------------（2）
由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3） （1）代入（3），可得xk?2?x0????(xk?1?xk?x0) 2 ? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
2?????????0
容易算出其特征根为
2?1,2????(??)2?8??? ---------------（4）
4当???8时，显然有
????(??)2?8?????2??? -----------（5）
44从而?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2?要使特征根均在单位圆内，即 ?1,2?1，必须 ???2．
故P0点稳定平衡条件为 ???2．
??2
《数学模型》作业解答
第八章（2008年12月9日）
1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质： （1） A的秩为1，唯一非零特征根为n； （2） A的任一列向量都是对应于n的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A满足
aij?ajk?aik，i,j,k?1,2,?,n
于是对于任意两列i,j，有
aik?aij，?k?1,2,?,n?.即i列与j列对应分量成比例. ajk从而对A作初等行变换可得：
?b11b12?00初等行变换A??????????0?0这里B?0.?秩?B??1，
?b1n??0??? B ?????0??A??1
c12?c1n?0?0???C ?????0?0?再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使PA?B，于是
PAP?1?BP?1?c11?0??????0易知C的特征根为c11,0,?,0（只有一个非零特征根）.
又?A～C，?A与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为c11，又?对于任意矩阵有?1??2????n?Tr?A??a11?a22???ann?1?1???1?n.故A的唯一非零特征根为n.
（2）对于A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?，?k?1,2,?,n?
T有
A?a1k,a2k,?,ank?T?n??n?aaa??1jjk???1k??jn?1??jn?1??na1k??aa??a??na2k?2jjk????2k?????n?a,a,?,a?T???1k2knkj?1j?1????????n???n???na???aa???a??nk?njjknk????j?1j?1????T
?A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?都是对应于n的特征向量.
7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.
解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3?1?4?5?2?3.所以此竞赛图是双向连通的.
2 4?5?1?2?32?4?5?3?11 3 5?3?1?2?4 3?1?4?5?2
等都是完全路径.
此竞赛图的邻接矩阵为
?0?0?A??1??0??1T1010?0110??0000?
?0101?1100??5 4 令e??1,1,1,1,1?，各级得分向量为
S?1??Ae??2,2,1,2,3?， S?2??AS?1???4,3,2,4,5?，
TTS?3??AS?2???7,6,4,7,9? ， S?4??AS?3???13,11,7,13,17?
TT由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.
注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根?和对应特征向量S得到：
T??1.8393，S??0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769?
数学模型作业（12月16日）解答
1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、
修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
解：目标层 越海方案的最优经济效益
准则层
省收岸间当地建筑
时 入 商 业 商业 就 业
方案层 建桥梁 修隧道 设渡轮
2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？
答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.
3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.
答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：CI???nn?1．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根
?=n．
第九章（2008年12月18日）
1．在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方
法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．
解：两种情况的钩子数均为2m．第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子．
① 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为
n2m??1?? D??? ?1??1?n?2m????? 当
n较小，n??1时，有 2m2m??1n?n?1???n?11?1???1? ???2n?2m4m8m???? D? D?1?E ， E?n 4m ② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：
对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对．
1； m1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1?；
m11 记p?,q?1?．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空
mm 任一只钩对被一名工人接触到的概率是
的概率为q，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上１件产品的概率为npq为m．所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为 2m?q?m?npqnn?1nn?1，其空钩数
?m2qn?npqn?1
??于是带走产品的平均数是 2m?m2q?npq?nn?1?， ??）
未带走产品的平均数是 n?2m?m2q?npq ?此时传送带效率公式为
??nn?1