由前面的结果可得 h?ENe?Er
EE?dhdhEN?r?Ner?e，令?0. dErdE得最大产量的捕捞强度Em?r．从而得到最大持续产量hm?rN/e，此时渔场鱼量水平
*x0?N． edx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.
3．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
2．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,求此时渔场鱼量水平x0. 解：1．x(t)变化规律的数学模型为
0*dx(t)x?rx(1?)?h dtNxxr2记f(x)?rx(1?)?h,令 rx(1?)?h?0 ，即 x?rx?h?0----（1）
NNN0??r2?4rh4h?r(r?) ， （1）的解为：x1,2?NNN?1?24hNrN
① 当??0时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为x0?N. 2xrx2rx' ，f(x0)?0 不能断定其稳定性. )??r?NNNxrNdx但?x?x0 及x?x0 均有f(x)?rx(1?)??0 ，即?0?x0不稳定；
N4dtf'(x)?r(1?③ 当??0时，得到两个平衡点：
N?N1?x1?易知 x1?4hrNN?N1? ， x2?4hrN22
NN ， x2? ?f'(x1)?0， f'(x2)?0 22?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定.
2．最大持续产量的数学模型为： ?0?maxh?s.t.f(x)?0
xNrNN** 易得 x0，但x0)，? 此时 h??这个平衡点不稳定. N242NNN要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?,且尽量接近,但不能等于.
222即 maxh?rx(1?
《数学模型》第七章作业
（2008年12月4日）
1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定，如果仍设xk?1仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和
xk?1?g(yk?yk?1并讨论稳定平衡条件. ).试建立关于商品数量的差分方程模型，
2
3． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和2xk?1?g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
《数学模型》作业解答
第七章（2008年12月4日）
2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定，如果仍设xk?1仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
（2）若除了yk?1由xk?1和xk决定之外，xk?1也由前两个时段的价格yk和yk?1确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.
解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：
x?xk??yk?1?f(k?1) ? 2?xk?1?h(yk)? 在P0(x0,y0)点附近用直线来近似曲线f,h，得到
x?xk??yk?1?y0???(k?1?x0),??0 ?(1) ? 2??xk?1?x0??(yk?y0) , ??0 ?(2) 由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) ?(3) （1）代入（3）得 xk?2xk?1?xk?x0????(?x0)
2? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0
对应齐次方程的特征方程为 2?????????02
特征根为?1,2????(??)2?8???
4当???8时，则有特征根在单位圆外，设???8，则
?1,2?(??)2?8?????()?? 2424??2 ??1,2?1 ? ???2
即平衡稳定的条件为 ???2与P207的结果一致.
（2）此时需求函数、供应函数在P0(x0,y0)处附近的直线近似表达式分别为：
xk?1?xk?y?y???(?x0),??0 ?(4)0?k?12 ? yk?yk?1?xk?1?x0??(?y0) , ??0 ?(5)2?由（5）得，2(xk?3?x0)?β(yk?2?y0?yk?1?y0) ?(6) 将（4）代入（6），得 2(xk?3?x0)?????(??xk?2?xk?1x?xk??x0)??(k?1?x0)? 22?? 4xk?3???xk?2?2??xk?1???xk?4x0?4??x0
对应齐次方程的特征方程为 4??????2???????0 ?(7) 代数方程（7）无正实根，且???, ?别为?1,?2,?3，则
32αβ??不是（7）的根.设（7）的三个非零根分, ?24??????????123?4???? ??1?2??2?3??3?1?2?????1?2?3???4?对（7）作变换：????3??12, 则
??p??q?0,
1?2?218?3?3?2?2), q?(????) 其中 p?(2???41241236?q??1?3??2??q?用卡丹公式：??2?w3??2??q2??3?w3??2??其中w?qpqqp()2?()3?3??()2?()323223qpqqp()2?()3?w23??()2?()3 23223qpqqp()2?()3?w3??()2?()323223?1?i3, 2求出?1,?2,?3，从而得到?1,?2,?3，于是得到所有特征根??1的条件.
2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和xk?1?g(关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和xk?1?g(yk?yk?1).试建立2yk?yk?1). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：
yk?y0???(xk?x0),??0 ----------------------（1）
xk?1?x0??(yk?yk?1?y0),??0 --------------------（2） 2从上述两式中消去yk可得
2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0,k?1,2,?， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：
2?????????0
容易算出其特征根为
2?1,2????(??)2?8??? ---------------（4）
4当???8时，显然有
????(??)2?8?????2??? -----------（5）
44从而?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2?要使特征根均在单位圆内，即 ?1,2?1，必须 ???2．
故P0点稳定平衡条件为 ???2．
??2