nn?112m?m2qn?npn?qm?1?n?1??? D'???2?2?1????1???
nn?m?m???m????? ③ 近似效率公式：
1?nn?n?1?1n?n?1??n?2?1??由于 ?1???1?? 23m26mm?m?n1?? ?1???m?n?1?1?n?1?n?1??n?2?1? m2m2? D'?1??n?1??n?2?
6m2n2当n??1时，并令E'?1?D'，则 E'? 26m④ 两种办法的比较：
n2n 由上知：E?，E'? 24m6m ? E'/E?2n2n，当m?n时，?1， ? E'?E． 3m3m所以第二种办法比第一种办法好．
《数学模型》作业解答
第九章（2008年12月23日）
一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如下表： 售出报纸数r（百份） 概率P(r) 0 0．05 1 0.1 2 0.25 3 0.35 4 0.15 5 0.1 试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n百份纸，则收益函数为
?7r?(?4)(n?r)r?nf(r)??
7nr?n?收益的期望值为G(n) =
?(11r?4n)P(r)+7n?P(r)
r?0r?n?1n?现分别求出 n=0,1,2,3,4,5时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=?4×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (?8?0.05?3?0.1?14?0.25)?14?(0.35?0.15?0.1)?11.8; G(3)=(?12?0.05?1?0.1?10?0.25?21?0.35)?21?(0.15?0.1)?14.4 G(4)=(?16?0.05?5?0.1?6?0.25?17?0.35?28?0.15)?28?0.1?13.15
G(5)=?20?0.05?9?0.1?2?0.25?13?0.35?24?0.15?35?0.1 ?10.25 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.
数模复习资料
第一章 1. 原型与模型
原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.
??直观模型?形象模型??物理模型??模型??思维模型??抽象模型?符号模型??数学模型???2. 数学模型
如玩具、照片等如某一试验装置如某一操作如地图、电路图
对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学
d2x结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式F?m来描2dt述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口N方程
?t?随时间t自由增长过程的微分
dN?t??rN?t?. dt3. 数学建模
所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对
于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简
化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.
数学建模过程流程图为： 实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地
求解模型 估计参数 否 检验模型 (用实例或有关知识) 4.数学建模的步骤
依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：
是 符合否？ 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 ?人口模型??交通模型?环境模型（污染模型）??a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ?生态模型
?城镇规划模型??水资源模型???再生资源利用模型b. 按建模的数学方法分类
?初等数学模型??几何模型?微分方程模型?? 数学模型 ?图论模型
?组合数学模型??概率模型???规划论模型?描述模型??分析模型??预报模型c. 按建模目的来分类 数学模型 ?
?优化模型?决策模型???控制模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验
e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为n f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.
解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角?表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为f(?);C、D与地面距离之和记为
g(?).并旋转1800.于是，设f(0)?0,g(0)?0,就得到g????0,f????0.
数学模型：设f???、g???是?0,2??上?的非负连续函数.若????0,2??,有
f???g????0,且g?0??0,f?0??0,g????0,f????0,则??0??0,2??,使f??0??g??0??0.
模型求解:令h(?)?f(?)?g(?) .就有h(0)?0, h(?)?f(?)?g(?)?0?g(?)?0.再由f???,g???的连续性,得到h???是一个连续函数. 从而h???是?0,??上的连续函数.由连续函数的介值定理：??0??0,??,使h??0??0.即??0??0,??,使
f??0??g??0??0.
又因为????0,2??,有f???g????0.故f??0??g??0??0.
9． （1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？
（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者
进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？
解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标， 第一天的行程x(t)可用曲线（?）表示 ，第二天的行程x(t)可用曲线（??）表示，（?）（??）是连续曲线必有交点p0(t0,d0),
两天都在t0时刻经过d0地点. x
d
方法二：设想有两个人， (?) 一人上山，一人下山，同一天同 p0 时出发，沿同一路径,必定相遇. d0 (??) t
早8 t0 晚5
方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a>0).由题意知：f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[8,17],使h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).
（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n队需赛n?1场，若2k?1?n?2k，则需赛k轮.
2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk).试建2xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2