8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1) 设M?800mg,l1?80mm,l2?20mm,b?0.02,??0.08,??50mm/s,a?0.3
求Q和Q1/Q2.
(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到l1处的情况下，进入人体毒物量的区别.
解
aw0v?Q?/eab?l2vabl1???1?ev??/0.7?0.02?80?0.3?10?50?0.08?20???5050?????229.857563(毫克) e1?e???0.7?0.02????其中w0?M/l1?10?，
?Q1?e Q2???b?l2v?e??0.08?0.02??2050?0.97628571
abl??aw0v?(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为Q3?‘?1?ev?
?ab???'?aw0v?v2??1?e只吸到l1处就扔掉的情况下的毒物量为Q4?'e?ab?bla'bl1v?? ??abl???blabl0.02?1000.3?0.02?100e?1?ev???vv50Q3e?ee?e50e0.04?e0.012????bl?0.02?80?0.032?1.256531719.abl10.3?0.02?800.00961bl1?a'bl1?Q4e?e?vvv?e50?e50e1?ev?e?e????blv'Q3?295.84, Ｑ4?235.44
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
a?4. b初始兵力x0与y0相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
?dx?dt??ay?dy???bx, ???1? ?dt?x?0??x,y?0??y00??0?a?现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A???
?b0???E?A??ba???2?ab?0. ??1,2??ab
??1,?2对应的特征向量分别为???2??2????， ????1??1??2???C2??1??e???x?t????2????1?的通解为??C1??y?t???1??e????再由初始条件，得
abtabt.
?x?x?t???0?y0?e?2?abt?x???0?y0?e??2?abt ???2?
又由?1?可得dybx?. dxay其解为 ay?bx?k, 而k?ay0?bx0 ???3?
2222(1) 当x?t1??0时，y?t1??k?a22ay0?bx0b3?y01??y0. aa2即乙方取胜时的剩余兵力数为
3y0. 2?x???0?y0?e??2?又令x?t1??0,由（2）得?x0???y0?e?2?abt1abt1?0.
注意到x0?y0,得e2abt1?x0?2y02. ?e2y0?x0abt1?3, ?t1?ln3. 4b(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则
?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4? ?dt?x(0)?x,y?0??y00?dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy. 相轨线为ay2?2ry?bx2?k, dy?bx由?4?得r?r2?2k?ay?2ry0?bx或a?y???bx??k. 此相轨线比书图11中的轨线上移了
a?a?202.02r?b2r2r?.乙方取胜的条件为k?0,亦即?y0???x0?2.
a?aaa?
2《数学模型》作业解答
第六章（2008年11月20日）
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞
量为常数h．
(1)分别就h?rN/4，h?rN/4，h?rN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
解：设时刻t的渔场中鱼的数量为x?t?，则由题设条件知：x?t?变化规律的数学模型为
dx(t)x?rx(1?)?h dtN记F(x)?rx(1?(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由F?x??0，得rx(1?即
x)?h Nx)?h?0 ． Nr2x?rx?h?0??????????1? N??r2?4rh4h?r(r?) ， NN4hNrNN?1?(1)的解为：x1,2?2
①当h?rN/4，??0，(1)无实根，此时无平衡点； ②当h?rN/4，??0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x0?N. 2xrx2rx，F'(x0)?0 不能断定其稳定性. )??r?NNNdxxrN但?x?x0 及x?x0 均有F(x)?rx(1?)??0 ，即?0．?x0不稳定；
N4dtF'(x)?r(1?③当h?rN/4，??0时，得到两个平衡点：
N?1?x1?易知：x1?4hNrNN?1?， x2?4hNrN22
NN'' ， x2? ，F(x1)?0 ，F(x2)?0 22?平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.
(2)最大持续产量的数学模型为
maxh? ??s.t.F(x)?0h?rN/4 h?rN/4 h?rN/4 rx?1?x/N? x1 N/2 x2 x x)， NNrN*易得 x0， ? 此时 h?24N*但x0?这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
2即 maxh?rx(1?要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?NNN，且尽量接近，但不能等于．
2222.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：x'?t??rxln中r和N的意义与Logistic模型相同．
N．其x设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h?Ex．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0．
解：x?t?变化规律的数学模型为
*dx?t?N?rxln?Ex dtx 记 F(x)?rxlnN?Ex xE?N① 令F?x??0，得rxln?Ex?0 ?x0?Ner，x1?0．
x?平衡点为x0,x1 . 又?F'?x??rlnN?r?E，F'?x0???r?0,F'?x1???． x? 平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定.
y N xy?Ex
rxln rN
②最大持续产量的数学模型为：
0 e y?f?x?
Ne x0 x
?maxh?Ex? N?s.t. rxln?Ex?0,x?0.?x?