?0.1????0??0.005?00.005??00??0?0.1???
4.
对于Oxyz直角坐标系，已知受力物体内一点的应力张量为
?01720??ij??17200???0100???0?
求出该点的应力张量不变量、主应力、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张
量及应力球张量
解：应力张量不变量为
J1??x??y??z?100222J2??(?x?y??z?y??x?z)??xy??xz??zy?29584222J3??x?y?z?2?xy?zy?xz?(?z?xy??y?xz??x?zy)??2958400
?1?172Mpa?2?100Mpa32??J??J2??J3?0解得主应力 ?3??172Mpa 1由应力状态方程
??36Mpa2???3?23??2??136Mpa2????31??31??172Mpa2主切应力
最大切应力
?12???1??2?max??172Mpa
1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?314.25Mpa2
??等效应力
应力张量得分解
?m?(?1??2??3)??33.3Mpa13
00?33.3???m??033.30???0?3033.?? 应力球张量
6
?100??3??172????0偏张量为 ??0??100?0??3100??0?3? 172?500300?800??
?3000?3005. 己知物体内一点的应力张量为：σij =??????800?3001100??应力单位为kg／cm2 。 试确定外法线为ni｛111，，｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总333n 。
应力Pn、正应力σn及剪应力τ
?解：首先求出该斜截面上全应力Pn在x、y、z三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nz
25?3??8?10?Px=?x??xy??xzn＇=?????????1?0 31?0 31?0 3n均为零，也即：
2Py=?yx??y??yzn＇=??3?0???3????10???2?8??3?11?10?Pz=?zx??yz??zn＇=??????????所以知，该斜截面上的全应力Pn及正应力σn、剪应力τPn =σn = τn = 0
?6. 设己知下列位移，试求指定点的应变状态。
2?2??u??3x?20??10（1）：? 在（0，2）点处；
?2??v??4yx??10?u??6x2?15??10?2??（2）：?w??3z2?2xy??10?2 在（1，3，4）点处
?v??8zy??10?2??解（1）：
?u??x?6?x10?x?2
?u?v?v??0?4y?10?2 ??y?4x?10?2 ?xy??y?x?y 7
在（0，2）点处，该点的应变分量为: ?x??y?0；?xy?8?10?2；
?040?写成张量形式则为：?ij??400??10?2；
????000??解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，
3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。
?x??v?u?8z10?2?32?10?2 ?12x10?2?12?10?2； ?y??y?x?w?u?v?6z10?2?24?10?2； ?xy???0 ?z?y?x?z??yz??zx??v?w?2?2?2???8y??2x10?24?2?10?22?10 ????????z?y?w?u????2y?0?10?2??6?10?2； ?x?z用张量形式表示则为：
?120?3???10?2
?ij??03211?????31124??8. 一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，v?1；2讨论下列三种情况： （1）：管的两端是自由的； （2）：管的两端是固定的； （3）：管的两端是封闭的；
分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验σr值。
解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，σr≈0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：
pr??1；?r?0??z??2??3?0 tprvprpr??1；?r?0??3；?z?v???????2； （2）：???tt2tprpr??1；?r?0??3；?z???2； （3）：???t2t（1）：???显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：
?max?k??s??1??32???2?pr?s?； 2t2 8
解出得：p??str；
若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得： （1）：2?s2???1??2????2??3????3??1?解出得：p?222?pr??pr???????? ?t??2t?22?str；
222pr??prpr??pr??2（2）、（3）：2?s???????0???0??
2t??2tt??t??解出得：p?2?st； 3r9. 对于直角坐标系 Oxyz 内，已知受力物体内一点的应力张量为
，应力单位为 Mpa ，
(1) 画出该点的应力单元体；
(2) 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、 应力偏张量及应力球张量。 解：
(1) 该点的应力单元体如下图所示
9
(2) 应力张量不变量如下
故得应力状态方程为
解之得该应力状态的三个主应力为
（ Mpa ）
设主方向为 ，则主应力与主方向满足如下方程
即
，
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