26. 两端封闭的细长薄壁管平均直径为r，平均壁厚为l，承受内压力p而产生塑性变形，管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。 解：
求出下列两种情况下塑性应变增量的比：
① 单向应力状态：?1??s
② 纯剪力应力状态：?s??s/3 ①解：设σ1＞σ2＞σ3，则：
?1m???s31??2??3???3，因此，应力偏量为：
??2?s00??3??????-?s?0? 30????00-?s?3??由列维—米赛斯增量理论d?ij??'ijd?得：
d?1?2?s3d?
d??s2?-3d?d??s3?-3d?塑性应变增量的比为：
2?sd?d?1?3?-2, 同理： d?1?-2, d?2?1
d?2-?sd?2d?23d?②解：已知纯剪力应力状态：?s??s/3 31
设
应力张量为：
??0??s?ij???3???s?3?s30?s??s3?3??s? 3??0??由列维—米赛斯增量理论d?ij??'ijd?得：
d?xy?d?yz?d?xz??s3d?d?d?
?s3?s3塑性应变增量的比为：
d?xyd?yz?d?xz?1 d?yzKg
2
??8 -4 0 ?? -4 -2 027. （共20分）已知变形体某点的应力状态为：?ij?????? 0 0 -5?? 1）画出单元体受力图。（4分）
2）求主应力（σ1，σ2，σ3）和主剪应力（τ12，τ23，τ31）。（4分） 3）作三向应力莫尔圆，并将上述计算结果标在应力莫尔圆上。（4分）
：
4）材料屈服极限σs=10kg/mm,试用Tresca和Mises准则分别判断该点处是否已经屈服？（4分）
5）若材料应力应变曲线方程为σ=20ε（4分）
0.5
2
,试按全量理论求该点的主应变（ε1,ε2,ε3）。
解：
(1) 该点的应力单元体如下图所示（4分） (2) 由应力状态可知，Z面上无剪应力，故?z为
?x??y一主应力。又因?z?，
2故题中的应力状态为平面应变问题应力状态，?z为
中间主应力?2。 另外两个主应力可直接利用平面应力问题主应力求解方法进行
32
计算。
?1,3??x??y2?(?x??y2)??xy22?0?8?2?8?222 ??()?(?4)??22??10所以，?1?0,?2??5，?3??10 (Kg/mm2） （3分）
主剪应力为：
???3???1???2?1,2??1??2.5,?2,3??2??2.5,?3,1??3??5 (Kg/mm2）（1
222分） τ
(3) 三向应力莫尔圆如下图所示 （4分）
(4) Tresca准则：
?1??3?0?(?10)=10Kg/mm2??s，该点正好屈服。
Mises准则：
σ
??1[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]?53??s, 2该点还未屈服。（4分）
(5) 由??20?0.5可得：??(
?20)2?0.1875,所以： E?=??46.2 ?
?2??31）=0.162E?2???1?2?（?2?31）=0E?2???21?3?（?3?1）=-0.162E?2?1?（?1?（4分） 33