， 解之则得 ，
， 解之则得 ，
， 解之则得
最大剪应力为：
八面体正应力为：
Mpa
八面体切应力为：
应力偏张量为：
11
，
应力球张量为：
10. 已知金属变形体内一点的应力张量为
求：
Mpa ，
(1) 计算方向余弦为 l=1/2 ， m=1/2 ， n= (2) 应力偏张量和应力球张量； (3) 主应力和最大剪应力； 解：
的斜截面上的正应力大小。
(1) 可首先求出方向余弦为（ l,m,n ）的斜截面上的应力（ ）
12
进一步可求得斜截面上的正应力 ：
(2) 该应力张量的静水应力 为
其应力偏张量
应力球张量
(3) 在主应力面上可达到如下应力平衡
其中
欲使上述方程有解，则
即
13
解之则得应力张量的三个主应力：
对应地，可得最大剪应力
。
11. 若变形体屈服时的应力状态为：
? ? ? 23 ?
? ?
? ? ? 0 15 ? ? ? 10 ij
? 0 0 -30? ? ?
MPa
试分别按Mises和Tresca塑性条件计算该材料的屈服应力异大小。
解：?1?230, ?2?150， ?3??300
Tresca准则：
?s及?值，并分析差
?1??3??s
?s?530MPa
而???1??3230?300＝＝1
530?s22Mises准则：??1??2????2??3????3???122?2?s
?s?494.9MPa
而???1??3230?300＝＝1.07
494.9?s(?2??3)?(?1??2)2?0.698，???1.07
2?1??33???或者：
???12. 某理想塑性材料，其屈服应力为100 (单位：10MPa) ，某点的应力状态为：
Z 14
Y X
????30????ij??023???10?0?315???MPa
将其各应力分量画在如图所示的应力单元图中，并判断该点处于什么状态（弹性/塑性）？ 答：?x＝－300MPa ?y＝230MPa ?z＝150MPa
?yz??zy＝－30 MPa
?xy=?yx=?xz=?zx=0
根据应力张量第一、第二、第三不变量公式：
I1＝?x+?y+?z
-I?x?yx2＝
?＋?y?zy＋?z?xz
xy?y?yz?z?zx?x?x?yx?zx I3＝?xy?y?zy
?xz?yz?z 将?x、?xy、?xy、?xz、?zx、?y、?yz、?zy、?z代入上式得： I1＝8，I2＝804，I3＝－10080 (单位：10MPa)
将I321、I2、I3代入?－I1?－I2б－I3＝0，令?1>?2>?3解得：
?1=24 ?2=14 ?3=－30 (单位：10MPa)
根据Mises屈服准则： 等效应力 ?＝
12??1??22????2??3?2???23??1?
＝49.76 (单位：10MPa)
??49.76??s?100(单位：10MPa)
因此,该点处于弹性状态。
13. 已知金属变形体内一点的应力张量为
Mpa ，求：
15
18 分）
（