应力球张量为
…… 1'
15.对于直角坐标系 Oxyz 内，已知受力物体内一点的应力张量为
，应力单位为 Mpa ，
（ 1 ）画出该点的应力单元体；
（ 2 ）求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、 应力偏张量及应力球张量。 (3)画出应力莫尔圆，并且标出各个面。
21
???20???16.已知一点的应力状态?ij??5?15???10MPa，试求该应力空间中
?00?10???x?2y?2z?1的斜截面上的正应力?n和切应力?n为多少？
解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：
l?AA?B?C222，m?BA?B?C222，n?CA?B?C222
因此：l?112?(-2)2?22xy m＋τxz n=
?1-2222，m???；n?? 3312?(-2)2?2212?(-2)2?22312100200??50??
33312350Sy＝τxy l＋σy m＋τzy n = 50??150??
3332200Sz＝τxz l＋τyz m＋σz n=?100???
33Sx＝σx l＋τ
??Sxl?Sym?Szn???1000??11192x2y2z100135022002?????333333
?100??350??200?S?S?S?S??????????12500
?3??3??3?2222?1000???12500????13.4
9??17.已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：
2?100??????ij??4050??，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
??2030?10???解：J1??x??y??z=100+50-10=140
J2??y?z??x?z??x?y??yz??xz??xy=100×50+50×（-10）+100×（-10）
-40-(-20)-30 =600
2
2
2
222J3??1?2?3=?x?y?z?2?xy?yz?xz??x?yz??y?xz??z?xy =-192000
222?3?140?2?600??192000?0
22
σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7
?????53.3??46.7????????403.3?ij??; ?im??046.7??;
??2030?56.7??00046.7?????σ8=σm =46.7
1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?39.1 33218.设物体内的应力场为?x??6xy2?c1x3，?y??c2xy，?xy??c2y3?c3x2y，
2?8???z??yz??zx?0，试求系数c1，c2，c3。
解：由应力平衡方程的：
??x??yx??zx????6y2?3c1x2?3c2y2?c3x2?0?x?y?z??yx??y??yz
????2c3xy?3c2xy?0?x?y?z??zx??zy??z???0?x?y?z即：??6?3c?y??3c222?-cx?0 （1） 13?2c3?3c2?0 （2）
有（1）可知：因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，
因此，-6-3c2=0 （3） 3c1-c3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c1=1，c2=－2，c3=3
80??5050??0?75?MPa,求外法线方向余弦为19.已知受力物体内一点应力张量为：?ij??50?80?75?30???l=m=
11，n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。 22xy m＋τxz n=
解：Sx＝σx l＋τ
50?111?50??80??50?402 22211?75??25?37.52 22Sy＝τxy l＋σy m＋τ
zy n = 50? 23
Sz＝τxz l＋τ
yz m＋σz n=80?111?75??30??2.5?152 222S=111.7
J1=20 J2=16025 J3=-806250
σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.6
20.在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为
0-10??10?0500??-10-5-10????????100?MPa；0? MPa；0? a)?ij??0b)?ij??500c)?ij??-5?2?-10?0010??-100?6?010???????MPa
1）画出该点的应力单元体；
2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。 解：a）点的应力单元体如下图
2）
0-10??10???100? MPa该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=200 MPa，J 3=0 MPa，a)?ij??0
?-10010???主应力和主方向： σ1=20 MPa，l=?
22
;m=0；n=?; 22
σ2=-10 MPa，l=m= n=0 σ3=0 MPa，l=?
22;m=0；n=?; 22
主剪应力τ12=±15 MPa；τ23=±5 MPa；τ12=±10 MPa
最大剪应力τmax=15 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa；τ8=12.47 MPa。 等效应力??26.45MPa
24
应力偏张量及球张量。
?200??340?ij??0??3?0?-10???10-10????30? MPa；?ij??0???20???03??01030?0??0? MPa； ?10??3?b) 点的应力单元体如下图
?0500????ij??5000? MPa该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa，
?0010???主应力和主方向：
σ1=10 MPa，l=m= n=0 σ2=50 MPa，l= m=?2; n=0； 22
; n=0。 2
σ3=-50 MPa，l= m=?
主剪应力τ12=±20 MPa；τ23=±50 MPa；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax=30 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa；τ8=41.1 MPa。 等效应力??87.2MPa 应力偏张量及球张量。
?10???3?ij??50???0?50?1030??100????30? MPa；?ij??0???20???03??01030?0??0? MPa； ?10??3?c) 点的应力单元体如下图
25