?-10-5-10????ij??-5?20? MPa该点的应力不变量：J1=-18 MPa，J 2=33 MPa，J 3=230 MPa，
?-100?6???主应力和主方向：
σ1=10 MPa，l=m= n=0 σ2=50 MPa，l= m=?2; n=0； 22
; n=0。 2
12
σ3=-50 MPa，l= m=?
主剪应力τ12=±20 MPa；τ23=±50 MPa；τ最大剪应力τmax=30 MPa
八面体应力σ8=-6MPa；τ8=9.7 MPa。 等效应力?=20.6MPa 应力偏张量及球张量。
=±30 MPa
0??-16-5-10???60?????ij??-5?80?； ?ij??0?60?
?0?-100?12?0?6?????21. 设物体中任一点的位移分量为
u?10?10?3?0.1?10?3xy?0.05?10?3z v?5?10?3?0.05?10?3x?0.1?10?3yz
w?10?10?3?0.1?10?3xyz 求点A（0.5，－1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。 解：?x??u?0.1?10?3y ?x?y????0.1?10?3z ?y???z??-0.1?10?3xy
?z?xy??yx?(?yz?(1?u???)?0.05?10?3x?0.025?10?3 2?y?x1?????)?0.05?10?3y?0.05?10?3xz 2?z?y 26
?xz?(1???u?)?0.025?10?3?0.05?10?3yz
2?x?z00-0.05?10-30.025?10?3?? -3-0.05?10?0.05?10?3??将点A的x=0.5，y=－1，z=0代入上式，得点A的应变分量
?-0.1?10?3??A??0?0.025?10?3?对于点A：
?mA11?(?x??y??z)?-?10?4 36?5?5?-?10?3??0??0??05-?10?530???? 0??5?5-?10?3?0?ij?mAI1??x??y??z?-0.05?10?3
I2?(?x?y??y?z??z?x)-(?xy??yz??zx)?-8.125?10?10
I3?2.5?10-13
222?3?I1?2?I2??I3?0
即：?3?1.5?10-4?2-8.125?10-10??2.5?10?13?0
?1?8.3?10-5，?2?2.9?10-5，?3?-1.04?10?4
?8?(?x??y??z)?-?10?4
?8??1222(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx) 3??7.73?10?31316??2?8?1.09?10?4
22. 物体中一点应变状态为：
?x?0.001，?y?0.005，?z?-0.0001，?xy?0.0008，?yz?0.0006，?xz??0.0004，试求主应变。
27
解：由题可知：
?108-4??????8506??10-4
?-46-1???I1??x??y??z?5.9?10?3
I2?(?x?y??y?z??z?x)-(?xy??yz??zx)?3.24?10-6
I3??1.98?10-9
即：?3222?5.9?10-3?2?3.24?10-6??1.98?10-10?0
解方程得主应变：?1?6.4?10-3，?2??8.3?10-3，?3?3.7?10?3
23. 试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于
弹性还是塑性状态？（材料为理想塑性材料）
??s?a)?ij??0?0?0???5?s??00?， b)?ij??0?00?s???000.1?s00?0.5?s00??0.5?s??0?， d)?ij??0?00?????0??0?， f)?ij??0.45?s?0?1.5?s???00?5?s00??0?， ?4?s??00?1.2?s?c)?ij??0?0????s???e)ij?0?0???00?， 0?0.6?s??0.45?s000??0? 0??解：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：σs-0=σs，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则??12??1??2?2???3??2?2???1??3?2??s。存在。应力处
于塑性状态。
b)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：-4σs+5σs =σs，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则
??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2
??5?s?5?s?2??-4?s?5?s?2??-5?s?4?s?2??s存在。应力处于塑性状态。
c)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：1.2σs-0 =1.2σs＞σs，不存在。 由密席斯屈服准则
28
??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2?1.2?s?0.1?s?2??0.1?s?0?2??0?1.2?s?2
?1.33?s??s不存在。
d)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：0.5σs+0.6σs =1.1σs＞σs，不存在。 由密席斯屈服准则
??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2?0.5?s?0?2??0?0.6?s?2??-0.6?s?0.5?s?2
?0.96?s??s存在。应力处于弹性状态。
e)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：-0.5σs+1.5σs =σs=σs，存在，应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则
??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2
?-?s?0.5?s?2??-0.5?s?1.5?s?2??-1.5?s??s?2?0.75?s??s存在。应力处于弹性状态。
f)由屈雷斯加屈服准则：τmax=（σ1-σ3）/2=σs/2得：τmax =0.45σs＜σs，存在，应力处于弹性状态。
由密席斯屈服准则
???1222[(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)]2
2?3??0.45?s??0.78?s??s存在。应力处于弹性状态。
?75-150?24. 已知开始塑性变形时点的应力状态为???-15150?，
??ij?000???试求：
（1）主应力大小；
（2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；
（3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。 解：由于点的应力状态为平面应力状态，由?1,2??x??y2??x??y???2??2?得主应??xy??2 29
力σ1和σ2：
?1,275?15?75?15?2?????15
2?2?2主应力为：σ1=78.54，σ2=11.46，σ3=0 最大切应力：τmax=33.54
?x??y?2单轴向屈服应力为：??2????67.08 ??sxy?2???作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算： 单轴向屈服应力：σs=σ1－σ3=78.54；
作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力：
2????1222[(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)]2
1[(75?15)2?(15?0)2?(0?75)2?6(152?0?0)]2?73.48σs=73.48
25. 已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。
图4-16 (题15)
解：设σ1＞σ2＞σ3，则：
??平均应力：??1????????9?4?2?5
m1233?400?应力偏量为：????0-10?
???00-3???3由列维—米赛斯增量理论d?ij??'ijd?得：
d?1??'1d??4d?d?2??'2d??-d? d?3??'3d??-3d?主应变简图如图示：
30