轴OO?转动．设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m．绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设R＝0.20m, r＝0.10m，m＝4 kg，M＝10 kg，m1＝m2＝2 kg，且开始时m1，m2离地均为h＝2m．求：
(1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力．
解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．
题2-14(a)图 题2-14(b)图 (1) m1,m2和柱体的运动方程如下：
T2?m2g?m2a2 ① m1g?T1?m1a1 ②
??T1R?T2r?I? ③
式中 T1??T1,T2??T2,a2?r?,a1?R? 而 由上式求得
???Rm1?rm2gI?m1R2?m2r20.2?2?0.1?2?9.8I?11MR2?mr222
11?10?0.202??4?0.102?2?0.202?2?0.10222?6.13rad?s?2 (2)由①式 由②式
T2?m2r??m2g?2?0.10?6.13?2?9.8?20.8N
2-15 如题
端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过?角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有
mg11?(ml2)?23
3g2lT1?m1g?m1R??2?9.8?2?0.2.?6.13?17.1N
2-15图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一
∴ (2)由机械能守恒定律，有
mg??
l11sin??(ml2)?2223
3gsin???l∴
题2-15图
习题三
3-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．
力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．
3-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?
答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物
质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．
从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点. 3-3 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 3-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? Ni Vi(m?s?1) 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 解：平均速率 VNV???Niii
??890?21.7 m?s?1 4121?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2方均根速率
V2???NV?Nii2i
21?102?4?202?6?103?8?402?2?50221?4?6?8?2?25.6 m?s?1
3-5 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．
（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv
v?v（4）?0f(v)dv （5）?0f(v)dv （6）?vNf(v)dv
21解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比. (1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度．
(3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数．
v4()?0f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比． ?(5)?0f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.
v6()?vNf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.
213-6 题3-6图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题3-6图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?
答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．
题3-6图
3-7 试说明下列各量的物理意义．
13ikT （2）kT （3）kT 222i3（4）MiRT （5）RT （6）RT
22Mmol2（1）
解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为
1kT． 23kT2(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为.
ikT2(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为的内能为
MiRT. Mmol2.
(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统
iRT. 23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热力
23学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总和为RT.
2(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为
3-8 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱
-42
液面0.12m，管的截面积为2.0×10m，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为
27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为
-1
0.004kg·mol)?
解：由理想气体状态方程pV?MRT 得 Mmol?MmolpVRT M
汞的重度 dHg?1.33?105N?m?3 氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg
氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3
M?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)
?0.004??1.91?10?6Kg
3-9设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．
题3-9图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0??av/Nv0?f(v)??a/N?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)
(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下