的总面积为N，
(2)由归一化条件可得
?v00N2v0avdv?N?adv?Nv0v0a?2N3v0
(3)可通过面积计算??N?a(2v0?1.5v0)?1N
3(4) N个粒子平均速率
v???02v0av2v01?vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv 0v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0 N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
?v?v00.5v0vdNN1Nv0vdN ?N1?0.5v0NNv0Nv0av2 ??0.5vvf(v)dv??0.5vdv
00N1N1Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)?N1?0.5v0v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数 131N1?(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N
28427av07vv??0
6N93-10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vp?vp?100?1与vp?vp?100?1之间的分子数占总分子数的百分比． 解：令u?vvP，则麦克斯韦速率分布函数可表示为
dN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02 由
?N42?u2?ue?u 得 N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?3-11 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?
解：理想气体分子的能量
E??iRT2
3?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J
25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J
2平动动能 t?3 Et?
-3 -5
3-12 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分
-10
子的有效直径d＝3×10m)． 解：由气体状态方程p?nkT得
p1.38?10?3n???3.33?1017 m?3 23kT1.38?10?3001由平均自由程公式 ?? 22?dn1???7.5 m ?20172??9?10?3.33?103-13 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，
-4
气压降到1.33×10Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直
-10
径10 m)?
解：(1)碰撞频率公式z?2?d2nv 对于理想气体有p?nkT，即
n?pkT
2?d2vp所以有 z?
kT8.31?273而 v?1.60RT v?1.60?455.43 m?s?1
28Mmol氮气在标准状态下的平均碰撞频率
z?2??10?20?455.43?1.013?1058?1
s ?5.44?1001.38?10?2732??10?20?455.43?1.33?10?4?1?0.714s1.38?10?23?273气压下降后的平均碰撞频率
z?
3-14 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比．
解：由气体状态方程
p1p2?T1T2 及 p2V2?p3V3
Mmol方均根速率公式 v2?1.73RT
v2初v2末?T1?T2p11?p22
pkT对于理想气体，p?nkT，即 n?所以有 ???初T1p2??1 ?末p1T2kT2?dp2
习题四
4-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．
Q?E??pdV?Q??E??A（1） （2）
（3） （4）
解：(1)不正确，Q??E?A (2)不正确， (3)不正确，
Q?ΔE??pdV??1?Q2Q1?不可逆?1?Q2Q1
??1?Q2Q1
Q2Q1(4)不正确，
4-2 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在p?V图上一绝热线与一等温线不能有两个交点．
?不可逆?1?
题4-2图
解：1.由热力学第一定律有
Q??E?A 若有两个交点a和b，则 经等温a?b过程有
?E1?Q1?A1?0 经绝热a?b过程
?E2?A1?0 ?E2??A2?0
从上得出?E1??E2，这与a,b两点的内能变化应该相同矛盾． 2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为100%，违背了热力学第二定律．
4-3 一循环过程如题4-3图所示，试指出： (1)ab,bc,ca各是什么过程； (2)画出对应的p?V图； (3)该循环是否是正循环?
(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积?
(5)用图中的热量Qab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数． 解：(1) ab是等体过程
bc过程：从图知有V?KT，K为斜率 由pV?vRT 得
vRK
故bc过程为等压过程 p?ca是等温过程
(2)p?V图如题4-3’图
题4-3’图
(3)该循环是逆循环
(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是p?V图中的图形．
(5)
e?QabQbc?Qca?Qab
题4-3图 题4-4图
4-4 两个卡诺循环如题4-4图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等； (3)效率是否相同?
答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同．
AT及4-5 根据，这是否说明可逆过
程的熵变大于不可逆过程熵变?为什么?说明理由．
答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变． 4-6 如题4-6图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统作功126 J．
(1)若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?
SB?SA??BdQ可逆SB?SA??dQ不可逆ATB题4-6图
解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差 Q??E?A ?E?Q?A?350?126?224 J