第一章 概率论基础
第一部分学习目的与要求
概率论的知识是学习经济学、金融学的基础，作为计量经济学的教材有必要把概率论这一内容放在第一章。通过学习本章应掌握一些重要的概念及其性质，并能应用到实践中。本章可划分为三大部分：概率论基本概念、随机变量及其分布、随机变量的数字特征。 （一）概率论基本概念
1、 理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和运算。 2、 理解事件频率的概念，掌握频率的计算公式。
3、 理解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，掌握古典概型计算公式。
4、 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，学会运用全概率公式和贝叶斯公式求事件
的概率。
5、 理解事件的独立性概念，掌握贝努利概型，学会二项概率的计算方法。 （二）随机变量及其分布
1、 理解随机变量的概念，离散型随机变量、概率分布及性质、连续型随机变量、概率密度
的概念及性质。
2、 理解分布函数的概念及性质，已知随机变量的概率分布及密度，会求其分布函数，以及
利用概率分布、密度或分布函数计算有关事件的概率。
3、 掌握二项分布、泊松分布及正态分布，了解均匀分布与指数分布。
4、 了解多维随机变量的概念，理解二维随机变量的分布函数、概率分布、概率密度的概念
及性质，并会计算有关二维随机变量表示的随机事件的概率。 5、 了解二维随机变量的边缘分布与条件分布。
6、 理解随机变量的独立性概念，掌握判断随机变量独立性的方法。
7、 会求两个独立变量的函数（和、最小值、最大值）的分布，理解多个相互独立且同分布
的随机变量的函数（和、最小值、最大值）的分布的函数的求法。 （三）随机变量的数字特征
1、 理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质和计算。 2、 会计算随机变量函数的数学期望，了解车比雪夫不等式。
3、 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布和正态分布的数学期望及方差，了解指数分布的期
望和方差。
4、 了解矩的概念、相关系数的概念，及它们的性质和计算。
第二部分练习题 一、填空题 1、设
A?B,P?A??0.1,P?B??0.5 ，
，
，则
P?AB?? ，
P?A?B?? ，
P?A?B??2、设
P?A|B?? 。 ，则
P?A??0.7P?A?B??0.3PAB??? 。
3、假设一批产品中一、二、三等品各占50%、30%、20%，从中随意取出一件，结果不
是三等品，则取到的是一等品的概率是 。
804、对一种产品独立地进行四次抽样，若至少有一件不合格产品的概率是81，则该产品的
不合格率是 。
5、设离散型随机变量X的概率分布
P?X?0??0.2,P?X?1??0.3,P?X?2??0.5，可
12??0X~??,P?X?1.5??0.20.30.5??则简记为 。
6、常数b= 时，
pk?7、设离散型随机变量X的分布率为
b(k?1,2,)k(k?1)为离散型随机变量的概率分布。
P?X?k????k,(k?1,2,)且??0,则?为 。
?Ax,x?04?f(x)???1?x??0,x?0?X8、设的概率密度为，则A=
9、设随机变量X的概率密度为
f(x)?1?e?x2?2x?1则X的数学期望
E?X? ???x??? = ，方差
D?X?= 。
?3X10、设随机变量X服从参数为2的指数分布，则函数Y?X?e的数学期望
。 二、计算题
1、一个袋内装有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中一次抽取3个，求至少有两个白
球的概率。
E?Y??2、袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有不同。现将球随机的一
只只摸出来，求是黑球的概率（1?k?a?b）。 3、在一个每题答案有4种选择的测验中，假设只有一种答案是正确的。如果一个学生不知
道问题的正确答案，他就作随机选择。知道指定问题正确答案的学生占参加测验者的
90%，假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率是多少？
4、从始发站乘汽车到终点站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相
1互独立的，且概率都是5，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布率。
1357,,,,5、已知离散型随机变量X的可能取值为-2，0，2，5，相应的概率依次为a2a4a8a试求概率
P?X?2|X?0?
6、设连续型随机变量X的分布函数为
1??P?X??3? X的概率密度；（3）?7、设
?Aex,x?0?F(x)??B,0?x?1?1?Ae?(x?1),x?1?，求：（1）A,B的值；（2）
?X,Y?的概率密度为
?Ce?(3x?4y),x?0,y?0f?x,y???0,其它，?
（1） 试确定常数C；
（2） 求
?X,Y?的分布函数及X,Y的边缘分布；
（3） 计算P(0?X?1,0?Y?2)。
8、设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在
y?1?2?e,y?0fY(y)??2?0,y?0?
?0,1?上服从均匀分布，Y的概率密度为
（1） 试求X和Y的联合概率密度；
2（2） 设含有a的二次方程为a?2Xa?Y?0，试求a有实根的概率。 9、设随机变量X的分布律为 -2 0 2 XP求
0.4 0.3
0.3 E?X?、
E?X2?、
E?3X2?5?10、设随机变量
X1,X2,,Xn相互独立，且均在区间[0,?]上服从均匀分布，令
Y1?max?X1,X2,分别求出
,Xn?,Y2?min?X1,X2,,Xn?
Y1，Y2的数学期望和方差。
211、设随机变量X的数学期望为EX,方差DX，证明对任意常数C，都有
第三部分参考答案 一、填空题
1、0.1，0.5，0.9，0.2 。 2、0.6 。
E?X?C??DX53、8。
解：设i表示取到的产品是i等品，其中i?1,2,3，则未取到i等品的产品用Ai表示，于是所求的任意一件不是三等品而是一等品的概率，就是在条件“未取到三等品”下，取到的是一等品的概率，即又因为
AP?A1|A3?。
，所以有
P?A1??50%?0.5,P?A2??30%?0.3,P?A3??20%?0.2P?A1A3?P?A3??P?A1?0.55??1?P?A3?1?0.28P?A1|A3??24、3。
解：设该产品的不合格率是P，X表示对一种产品独立地进行四次抽样的不合格产品的个数，则
X~B?4,P?，依题意
804?P?X?1??1?P?X?0??1??1?P?81
8014?1?P??1??8181 于是
2P?3 故
5、0.5
6、1
17、??1
8、6
1E?X?D?X?29、=1，=
910、10
解：由题设，X的概率函数为
由求函数的数学期望的公式，得：
?2e?2X,x?0f(x)???0,x?0
Y?E(X?e?3X)?2?(x?e?3x)e?2xdx?0??二、计算题
910
221、35
解：设事件典定义有
AAAi表示“抽到的3个球中有i（i?2,3）个白球”
，2与3互不相容，由古
213C4C318C44P?A2??3?,P?A3??3?C735C735
故所求的概率为
P?A2?A3??P?A2??P?A3??2235
a2、a+b
解：把a只黑球及b只白球视为不同的（如设想把它们编号），若把摸出的球依次放在排列
?a?b?!。若记
?a?b?1?个位置Ak为“第k次摸出黑球”
，这相当于在第k个位置上放一只黑球，在其余
?a?b?1?个球，所以，Ak包含的基本事件个数为a??a?b?1?!，故所求概率
上放另外的
a??a?b?1?!aP?Ak???a?b ?a?b?!为
成一直线的a?b个位置上，则基本事件总数就是a?b个相异元素的全排列3、0.027
解：设A为“某学生对指定问题作出正确回答”，
为“该生不知道指定问题正确答案”，依题意
BB1为“该生知道指定问题正确答案”
，2P?B1??0.9,P?B2??0.1P?A|B1??1,P?A|B2??14
由贝叶斯公式，所求概率为
P?B2?P?A|B2?0.1?0.25P?B2|A????0.027P?B1?P?A|B1??P?B2?P?A|B2?0.9?1?0.1?0.25
4、 XP0 1 2 3 64125348125121251125解：X的可能取值为0，1，2，3，而
64?1?P?X?0???1????5?1251?4811?P?X?1??C31????5?5?125?1?P?X?2??C???5?233322?1?12?1????5?125
1 2 3 1?1?P?X?3??C????5?125即X的分布律为 3X0 P6412548125121251125225、29
解：
?P?X?x??a?2a?4a?8a?8a?1ii?14135737
a?解得 故 378
-2 0 2 X5PP?X?2|X?0??A?B?6、（1）
837P?X?2,X?0?12371037737P?X?0??P?X?0??P?X?2?P?X?0??P?X?2??PX?5???2229
12
?1x?2e,x?0?f(x)??0,0?x?1?1?e?(x?1),x?1?2（2）
1（3）2
解：