3．[解] 由题设，?1,?2是A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量，又由AB=2B,B为三阶非零矩阵，不妨设B的第一列b1非零，则b1是A的属于特征值2
?0???P?1AP??0???2P??,?,b???? 121的特征向量，于是令 ，则有
?0??1?????0?E?1????????23????, 于是A?E=3. (1) A+E~??2????2???r(A?2E)?2??0??(2) A-2E~
(3) 矩阵2A+3E的特征值为3，3，7.
?11??12?3?????5?3?BA??0?2?????42?0?12???20?????4．[解] 因为
??5?310???1?111??????4201??4201? (BA I )= ?3??101?11?1??1?2???????0?245???01?2??5???2?
3??1?2??1(BA)???5??2?????2? 所以
?1?11?12???(A,b)???00?22?2??00?33?3??? 5．[解]
?1?11?12?????00?11?1??00000??? ?1?1001?????00?11?1??00000???
取x2，x4为自由未知量，得到：x1=1+x2，x3=1+x4。 令x2=c1，x4=c2，方程组的一般解为：
?1?c1???cx??1??1?c2???c?2?
?u1?x1?x2?4??u2?x1?2x2?7?u?x?x?2126．[解] 令 ?3
22?u12?u2?u3 ?（x1x2）
222?(x?x?4)?(x?2x?7)?(x?x?2)121212
????2(3x1?2x2?13)?0???x1?????2(2x1?6x2?16)?0??x 由 ?2
?3x1?2x2?13?得法方程组 ?2x1?6x2?16 解得
x1?2311x2?7 7 x1?2311x2?7 7
所以最小二乘解为
?1?10????132???0?20?? 7．[解] 它的矩阵为A=
f(x1,x2,x3)??x1x2?1?10??x1?????x3???132??x2??0??20????x3?
它的矩阵表达式为
?52???22??? 8．[解] 二次型f的矩阵为A=???5?2?I?A??(??6)(??1)?0?2??2A的特征方程为
特征值为?1?6，?2?1
当?1?6时，解齐次线性方程组(6I-A)x=O，得其基础解系为
?2?1?2????????x1=?1?，把x1单位化，得p1=5?1??
当?2?1时，解齐次线性方程组(I-A)x=O,得其基础解系为
??1?1??1????????px2=?x?2?把2单位化得2=5?2?
?????pp令P=( 1, 2)=?2515?1??5?2??5?，则P为正交矩阵
第三章 数据分析方法与参数统计推断
第一部分 学习目的和要求
在计量经济学的分析和推断中主要是根据观察到的数据进行整理和分析，并作出判断。通过本章的学习，要求读者掌握以下几点。 1、掌握算术平均、加权算术平均和几何平均数的计算；
2、能够用移动平均法修正时间序列数据，并对未来数据进行估计； 3、掌握一次指数平滑法，对二次指数平滑法有所了解； 4、掌握矩估计法和极大似然估计法； 5、熟悉极大极小估计，掌握贝叶斯估计；
6、掌握使用U统计量，t统计量，?统计量和F统计量进行假设检验的方法； 7、掌握单因素试验的方差分析方法。
第二部分 练习题
1、从1986~2005年，我国万元GDP石油消耗列于下表（单位：吨）。从表中可以看到我国单位GDP石油消耗呈明显下降趋势，但是并非单调下降。试计算下表中时间序列的5项算术移动平均数，并利用该方法估计2006年我国万元GDP石油消耗？（填空题）
表1：1986~2005年我国万元GDP石油消耗（单位：吨） 年份 万元GDP21986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1.2782 1.2144 1.1741 1.1781 1.1250 1.1109 1.0486 0.9984 0.8911 0.8588 石油消耗 移动平均 年份 万元GDP 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 0.8433 0.8651 0.7950 0.7778 0.7557 0.7042 0.6948 0.6869 0.6731 0.6253 石油消耗 移动平均 注：GDP使用国家统计局修正后数据，且折算成1978年不变价格。
2、1990~2005年我国每年石油消费量如下。已知平滑系数?取值空间为{0.3，0.6，0.9}，估计误差用绝对偏差函数et?|xt?xt|来定义。试用二次指数平滑法对2006年石油消费数量进行估计。一次、二次指数平滑初始值都取第一期观察值。
【备注】二次指数平滑法是在一次指数平滑值基础上再作一次指数平滑，然后利用两次指数平滑值，建立预测模型确定预测值的方法，它解决了一次指数平滑不能用于有明显趋势变动的市场现象的预测的问题。二次指数平滑法预测公式为：
(1)(2)x(2)t??xt?(1??)xt?1
式中，xt代表第t期二次指数平滑值；xt代表第t期一次指数平滑值；?(2)(1)
为平滑系数。
表2：1990~2005年我国每年石油消费量（单位：万吨）
1990 11486 1998 19818
3、设总体X在[a，b]上服从均匀分布，参数a，b未知。现从该总体中抽取一组样本如下。试用矩估计法和极大似然估计法分别求参数a和b的估计量？
样本X1~X10的值x1~x10如下：3.2395，3.0763，3.9172，4.7397，4.8685，3.5289，3.3206，4.7457，3.4758，4.2917。
1991 12423 1999 21073
1992 13373 2000 22439
1993 14321 2001 22838
1994 14956 2002 24780
1995 16065 2003 27126
1996 17436 2004 29383
1997 19692 2005 31700
4、设总体X服从正态分布，均值为?，方差为?，均存在却未知。现从该总体
2中抽取一组样本如下，试用矩估计法和极大似然估计法分别求参数?和?的估
2
计量？样本X1~X10的值x1~x10如下：2.6266，4.4516，1.8234，7.3664，2.7272，3.2279，5.1335，3.1186，2.8087，1.3353。
5、设总体X服从贝塔分布，参数分别是?和?，均未知。现从该总体中抽取一组样本如下，试求参数?和?的矩估计量？
样本X1~X10的值x1~x10如下：0.3166，0.3704，0.7331，0.6096，0.1034，0.0098，0.8526，0.0733，0.5922，0.0472。
Beta函数为：
1B(?,?)??x??1(1?x)??1dx0，??0，??0
x??1(1?x)??1Beta概率密度函数为：B(?,?)，0?x?1
?????? 均值公式为：方差公式为：
6、设总体X服从泊松分布，参数为?，未知。现从该总体中抽取一组样本如下，试求参数?的极大似然估计量？
样本X1~X10的值x1~x10如下：3，6，6，2，9，3，3，3，4，5。
7、设总体X服从两点分布，即有
?2???(???)2(????1)
?pP?X?x????1?px?1x?0
?111?p??,,??432?，试求参数p的极大极小估计？ 其中
设损失函数L?p,a?如下: p a p1?14a1?14a2?13a3?121 3 6