矩阵代在计量经济学中占有重要的地位，学习本章主要掌握以下几个方面的内容：
1．矩阵加法，乘法的规则。 2．逆矩阵的求法
3．矩阵对应的行列式计算方法 4．数列中逆序的概念
5．向量组的线性相关和线性无关 6．齐次线性方程组解的结构
7．线性方程组有解的充分必要条件 8．矩阵的秩
9．最小二乘解的概念和几何意义
10． 二次型的定义，正定、负定、不定的二次型 11． 正交变换
12． 特征根、特征向量
13． 二次型变换成对角型的方法
第二部分 练习题
一 选择题
⒈ 下列结论成立的是（ ）. A. 如果A2=O，则A=O
B. 如果如果矩阵A2=A并且A不是单位矩阵，那么A不可逆。 C. 如果A2=A，则A=E或A=O D. 如果矩阵A2=O，则E+A不可逆 2．下列说法正确的是（ ）.
A. 零矩阵一定是方阵 B. 可转置的矩阵一定是方阵 C. 可逆矩阵一定是方阵 D. 若A与A?可进行乘法运算，则A一定是方阵
3．下列说法正确的是（ ）
A. 用对角线法则可以计算n阶行列式 B. 对行列式的行成立的性质，对列也成立 C. 只有同阶行列式之间可以进行运算
D. 只有行和列数都相同时,两个矩阵才能进行乘法运算 4．下列结论正确的是（ ）．
A. 对角矩阵是数量矩阵 B. 数量矩阵是对称矩阵 C. 可逆矩阵是单位矩阵 D. 对称矩阵是可逆矩阵 5．设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）
?1?1?1 A. (AB?)?A(B?) B. (AB)??B?A?
?1?1?1 C. (AB)??A?B? D. (AB?)?A(B)? 6．设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）．
?1?1?1(AB)?BA B.(AB)??A?B? A.
C. r(A?B)?r(A)?r(B) D. 若AB = E，则必有A = E或B = E
7．设A?(12)，B?(?13)，E是单位矩阵，则A?B?E＝（ ）．
??13???1?2???2?2???23?????????263635?25???????? A. B. C. D.
8．设A为n阶矩阵,考虑以下命题:1)A与A?有相同的特征值与特征向量;2)若A~B, 则A,B有相同的特征值与特征向量;3)若A,B有相同的特征值,则A,B一定相似于同一个对角矩阵;4)若A,B有相同的特征值,则r(A)=r(B). 成立的命题有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
9．设A为m?n阶矩阵，考虑以下命题：①Ax=0只有零解；② Ax=b有唯一解；③A的行向量组线性无关；④A的列向量组线性无关. 则有（ ） A. ①?②?④ . B. ②?①?④. C. ④?①?③. D. ③?②?①.
?13?210???01100???00100???01000?的秩是（ ） 10．矩阵?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
222fx,x,x??x?4xx?2xx?4x?4xx?x??12311213223311．二次型是（ ） A. 正定 B. 负定 C. 半负定 D. 不定
二 填空题 1．已知
?1020????abcd??0011??1066????????149201001984???????0010?
则a=____，b=____，c=____，d=____.
?31??79?????5?1??17???，B=??，AX=B，YA=B， 则X=______，Y=______. 2．若矩阵A=?aij?0(i?1,2,?,n)?(a),(n?2)3．设A=ijn?n，A的伴随矩阵A*的秩为1，且j?1，
则Ax=0的通解为_____________.
?0?2?2???A??2x?2???22b???的特征值，其中b为不等于零的任意常数，则 4．已知-2是
x= . 3??31??A??11?2??3?2?2???，以A为矩阵的二次型为_____________. 5．设
n?460?A???3?50??3?61?6．设
三 计算题
?????，矩阵A的特征值为___________，特征向量为___________.
?1?2??30?A??B?????1002A,B??，??，求X. 1．设矩阵满足矩阵方程AX?B，其中
2．设向量组?1?(1,1,1,3)?,?2?(?1,?3,5,1)?,?3?(3,2,?1,p?2)?，
（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量??(4,1,6,10)?用?1,?2,?3,?4线性表出；
（2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
3．已知A为三阶矩阵，?1,?2为Ax=0的基础解系，又AB=2B，B为三阶非零矩阵.
(1) 计算行列式A?E；(2)求秩r(A-2E)；(3) 求矩阵2A+3E的特征值.
?11???A??0?2??12?3??20?B???0?12????，计算(BA)-1． 4．设矩阵，5．解下列线性方程组
?x1?x2?x3?x4?2??x1?x2?x3?x4?0?x?x?2x?2x??134?12
6．求下列矛盾方程组的最小二乘解。
?x1?x2?4??x1?2x2?7?x?x?2 ?12
227．设二次型f(x1x2x3)?x1?3x2?2x1x2?4x2x3，写出它的矩阵及矩阵表达式。
?4?(?2,?6,10,p)?.
8．求二次型f?5x1?4x1x2?2x2的正交矩阵
第三部分 参考答案
22一 选择题
1．B 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B
Ax=b有唯一解，知r(A)?r(A?b)?n，于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选B 10．C
将矩阵化成阶梯形矩阵后，有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 11．C
2fx,x,x??(x?2x?x)?0，当x1?2x2?x3?0时，f?x1,x2,x3??0，??123123可写成
??12?1???2?42????12?1?fx,x,x???是半负定矩阵。 123因此，半负定，其对应的矩阵?二 填空题
1．[解] 由
?1020????abcd??0011??ac2a?b?d??????8?1492?0100?19??0010??所以，a?1，b?6，c?0，d??2.
?1??2．[解] X=?45??13???2??22?95???????3?；Y=?22?
b??1066?????4??1984?
3．[解] 由题设，秩r(A)=n-1, 于是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为n-r(A)=1, 而
?aj?1nij?0(i?1,2,?,n)?，故Ax=0的通解为k（?. （1，1，?，1）1，1，?，1）表明Ax=0有解
?222?2E?A??2?2?x2?b(4?x)?02?2?2?b4．[解] 由题设，有，知x=-4.
222f(x,x,x)?3x?2xx?6xx?x?4xx?2x1231121322335．[解]
6．[解] 第一步：求A的特征值
??4?60?3??50?(??2)(??1)2?036??1因为?I?A
?2??3?1 （二重根） 所以A的特征值为?1??2第二步：求A的特征向量
对于?1??2??6x1?6x2?0??3x1?3x2?0?3x?6x?3x?023对应的齐次线性方程组为 ?1
??1?????1??1?它的基础解系为v1??，故k1x1(k1?0)是A的对应于?1??2的全部特征向量。
??3x1?6x2?0??3x1?6x2?0?3x?6x?02?1
对于?2??3?1 对应的齐次线性方程组为
??2??0???????1??0??0??1???它的基础解系为vv=?? 故k2x2?k3x32
3
(k2k3不全为零）是A
的对应于?2??3?1的全部特征向量。
三 计算题
?11．[解] 思路：若A可逆，则X?AB.
?1先求A.
?100?1210??1210??(AI)??1???????1001021101?????2因为?0A?1??1??2所以
?0X?A?1B??1??2?1??1?2?.
?1??030????1?????3?02?2??2?2??1??.
?1??1?2?
?24??1?13??0?2?1?4?3???1,?2,?3,?4,?????00101???000p?21?p?? 2．[解]
（1）当p?2时，向量组?1,?2,?3,?4线性无关，此时设
3p?41?px1?2,x2?,x3?1,x4?.??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4，解得 p?2p?2 （2）当p=2时，向量组?1,?2,?3,?4线性相关，此时向量组的秩为3，?1,?2,?3为其一个极大线性无关组.