1987 1988 1989 1990 446.50 436.93 381.28 384.08 113.6 118.3 124.0 130.7 161.70 149.91 180.02 183.46 1991 362.04 136.2 206.33 a. 在同一散布图中描绘黄金价格，CPI和NYSE指数。 b. 一种投资，如果它的价格和（或）回报率至少赶得上通货膨胀，就被认为是（对通
货膨胀）保值（能抵御通货膨胀）的。为检验这一假设：投资是保值的，假定a中的散点图表明拟合以下模型是最适宜的：
黄金价格t??1??2CPIi??i7 下表给出了，1959－1997年间美国国内总产值数据 NGDP RGDP 年份 年份 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 507.2000 526.6000 544.8000 585.2000 617.4000 663.0000 719.1000 787.7000 822.6000 910.6000 982.2000 1035.600 1125.400 1237.300 1382.600 1496.900 1630.600 1819.000 2026.900 2210.200 2262.900 2314.300 2454.800 2559.400 2708.400 2881.100 3069.200 3147.200 3293.900 3393.600 3397.600 3510.000 3702.300 3916.300 3891.200 3873.900 4082.900 4273.600 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 NYSE指数t??1??2CPIi??i
NGDP 2557.500 2784.200 3115.900 3242.100 3514.500 3902.400 4180.700 4422.200 4692.300 5049.600 5438.700 5743.800 5916.70 6244.400 6558.100 6947.000 7269.600 7661.600 8110.900 RGDP 4630.600 4615.000 4720.700 4620.300 4803.700 5140.100 5323.500 5487.700 5649.500 5865.200 6062.00 6136.300 6079.400 6244.400 6389.600 6610.700 6761.700 6994.800 7269.800 1978 2291.400 4503.000 a. 将当年美元和不变（即1992年）美元数据对时间描图。 b. 用Y表示GDP，X表示时间（按年历从1代表1959，2代表1960开始，直至39代表1997）。看以下模型是否适合GDP数据：Yt??1??2Xt??t 试用当年美元和不变美元两种数据分别估计此模型。 c. 你会怎样解释?2？
d. 如果用当年美元估计?2和不变美元GDP估计的有所不同，你会怎样解释这个差距？ e. 从你计算的结果，你能对样本时期美国通货膨胀的性质得出什么评论？
第三部分 参考答案 一、术语解释
1 解释变量：也称自变量，是在模型中对被解释变量起解释作用的变量。如模型
yt????xt??t中的xt。
2 被解释变量：也称因变量，在模型中假设其变动由解释变量引起，对解释变量起依存关系。如模型yt????xt??t中的yt。
3 线性回归模型：是相对于模型的参数而言的，即对于其参数是一次的。对于变量而言，模型可以是线性的，也可能不是线性的。
4 最小二乘法：普通最小二乘法归功于德国数学家高斯，在一定假设下，最小二乘法有一系列非常令人向往的统计性质，是回归中较常用的一种方法。如，对模型yt????xt??tQ?（yt????xt）而言，通过使得统计量
5 方差分析：通过分析总离差平方和
2T??y?y?tt2最小而求得参数?、?。
2R2tS??yt?y??与回归平方和S???y?y?、剩
2tt余平方和的数值，及相互之间的数量关系，来分析变量之间的关系和回归模型。
6 参数估计：选定模型，根据解释变量和被解释变量的数据，使用一定的估计方法得出模型中的未知参数，称为参数估计。
S??y?y2E??2y,y?7 控制：是预测的反问题，即要求观察值在某个区间?取值时，解释变量x应控制在
'1'2t什么范围。
8 预测：根据回归模型和已估计出的参数，在给定解释变量xt时，预测被解释变量yt的取值或取值范围。 二、填空题
1 不确定性；客观经济。
2 随机性；随机性；随机性；随机扰动项；测量误差；被解释变量；解释变量。 3 总离差平方和；回归平方和；残差平方和。
4 净影响；?。
5 指数是一次；指数是一次；参数。 6 残差；随机扰动项。 三、简答题
1答：在线性回归方程中，“线性”二字指的是方程对参数而言是线性的的，即参数的次数为一次。对于变量而言，模型可以是线性的，也可能不是线性的。
2答：最小二乘法归功于德国数学家高斯，在一定假设下，最小二乘法有一系列非常令人向往的统计性质，是回归中较常用的一种方法。如，对模型yt????xt??t（yt????xt）而言，通过使得统计量
Q??yt?yt??最小而求得参数?、?。最小二乘法使得回归的参
2差平方和尽可能的小，即总体上来说，yt与yt的偏差最小。在满足一定的条件下，最小二乘法具有最优线性无偏估计量的性质（BLUE）。
2?3答：假设1，随即误差项?t的均值为0，方差为?，且服从正态分布。即tN?0,?2?
?n之间是两两不相关的。即ij假设2，随即误差项 ?1,?2,?3, 由于正态分布的随即变量不相关与独立是等价的，因此改假设实际上表示各随机变量误差项相互独立。
假设3，随机误差项与解释变量X之间不相关，即
cov?xt,?t??0t?1,2,实际上，如果X是可观察或可控制变量，则它就不是随机变量，因此改条件一定成立。
cov??,???0n
4答：方差分析通过分析总离差平方和
2SE??yt?ytS??yt?y2T??与回归平方和S???y?y?、
22R2t2剩余平方和的数值，及相互之间的数量关系，来分析变量之间的关系和回归模型。通过方差分析，我们可以判断线性回归方程的好坏。我们可以知道总离差平方和
??2S??yt?y2T??的构成情况，回归平方和S???y?y?反映由于x与y之间的线性关
22Rttt系而引起的回归值的离散程度，而剩余平方和则反映了除x与y之间的线性关系以外引起数据y波动的因素，这种波动性实际上是由于观测误差等随机因素引起的。这样，我们就通过平方和的分解把引起数据y波动的两种原因在数值上分开了。
5答：t检验的思路，若线性假设符合实际，那么b不应该为零。否则，若b=0，那么y就
S??y?y2E??2H0:b?0不依赖于x了。因此，我们需要检验假设：H1:b?0，通过计算t统计量
t?b?b?Lxx，
及相应的临界值得出拒绝域。当假设H0:b?0被拒绝时，我们认为线性回归效果是显著的；反之，则认为线性回归效果不显著。
rxy?相关系数检验法主要是通过由数据观测值计算出的样本相关系数
LxyLxxLyy作为相关
系数?xy的估计值，通过rxy的大小来判断x与y之间线性关系的密切程度。因此，我们需要
H0:??0检验假设：H1:??0，通过计算检验统计量
t?var?y?var?x?rxyn?221?rxy，及相应的临界值得出拒绝域。
b?rxy对于一元线性回归方程而言，有
，所以对于一元线性回归方程而言，t检
验中的假设H0:b?0等价于相关系数中的假设H0:??0。
6答：预测：根据回归模型和已估计出的参数，在给定解释变量xt时，预测被解释变量yt的
取值或取值范围。即，已知自变量的取值，求因变量的取值或取值范围。
y,y? 控制：是预测的反问题，即要求观察值在某个区间?取值时，解释变量x应控制在
'1'2t什么范围。
7答：①影响y取值的，除x外，还有其他不可忽略的因素。 ②y与x的关系不是线性的，它们存在其他关系。 ③y与x不存在关系。
8答：一个回归模型永远也不可能对现实做出完全准确的描述。因此，回归子的实际值与从选择的模型中估计出来的值之间必定不同。二者之差就简单的归纳为随机误差项。而参差是指样本的随机误差项。
9答：模型a、b、c和e都是线性（于参数的）回归模型。如果我们另??ln?1，则模型d也是线性的。
10答：(a)通过取自然对数，我们发现lnYi??1??2Xi??i，便成为一个线性回归模型。 (b)如下被称为logit变换的变换使得模型成为一个线性回归模型： (c)线性回归模型
ln???1?Yi?Yi??i??1??2Xi??i
(d)非线性回归模型
(e)因为?2的幂指数是3，所以不是线性回归模型。 四、计算题
1解：（1）Yi??1??2Xi??i，因此
E?YiXi??E??1??2Xi??iXi???1??2Xi?E??iXi???1??2Xi（2）假定对所有的i,j 因为?为常数而X为非随机的。
?i?j?都有cov??i,?j??0i?j，于是
?cov?Yi,Yj??E??Yi?E?Yi?????Yj?E?Yj??
?E??i?j??E??i?E??j??? 利用（1）中的结论 根据假定误差项不相关
?0 根据假定每个?i的均值都为零。 （3）给定
var??iXi???2，于是根据假定有
222var?YiXi??E?Y?EY?E??var?X?????????i?iii?i2解：a. 回归结果为
Dependent Variable: ASP Method: Least Squares Date: 07/23/06 Time: 15:47 Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable C GPA
R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
Coefficient -273722.5 105117.6
Std. Error 85758.31 26347.09
t-Statistic -3.191790 3.989723
Prob. 0.0035 0.0004 18187.78 22.10420 22.19762 15.91789 0.000432
0.362447 Mean dependent var 68260.00 0.339677 S.D. dependent var 14779.44 Akaike info criterion 6.12E+09 Schwarz criterion -329.5630 F-statistic 1.006276 Prob(F-statistic)
因为估计的GPA的系数是统计显著的，所以它对ASP有正的影响。 b. 回归结果为：
Dependent Variable: ASP Method: Least Squares Date: 07/23/06 Time: 15:49 Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable C
Coefficient -332306.8
Std. Error 47572.09
t-Statistic -6.985332
Prob. 0.0000
GMAT R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
641.6598 76.15036 8.426222 0.0000 18187.78 21.29139 21.38480 71.00122 0.000000
0.717175 Mean dependent var 68260.00 0.707074 S.D. dependent var 9843.701 Akaike info criterion 2.71E+09 Schwarz criterion -317.3709 F-statistic 1.128809 Prob(F-statistic)
显著的正相关。 c. 回归模型为：
Dependent Variable: ASP Method: Least Squares Date: 07/23/06 Time: 15:51 Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable C XUEFEI
R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
Coefficient 22789.94 2.656779
Std. Error 9769.655 0.551833
t-Statistic 2.332728 4.814461
Prob. 0.0271 0.0000 18187.78 21.95119 22.04461 23.17903 0.000046
0.452901 Mean dependent var 68260.00 0.433362 S.D. dependent var 13690.92 Akaike info criterion 5.25E+09 Schwarz criterion -327.2679 F-statistic 1.123432 Prob(F-statistic)
每年的学费与ASP显著正相关。
从回归方程看，学费高，ASP就高。但因为影响ASP变动的因素还很多，所以不是绝对的。 d. 因为
Dependent Variable: GPA Method: Least Squares Date: 07/23/06 Time: 15:54 Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable C XUEFEI
R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 3.145781 6.28E-06
Std. Error 0.072667 4.10E-06
t-Statistic 43.29060 1.531043
Prob. 0.0000 0.1370 0.104166 -1.666626 -1.573213 2.344093 0.136980 0.077250 Mean dependent var 3.253333 0.044295 S.D. dependent var 0.101833 Akaike info criterion 0.290359 Schwarz criterion 26.99939 F-statistic 1.706068 Prob(F-statistic) Dependent Variable: GMAT Method: Least Squares Date: 07/23/06 Time: 15:55