?
∵ 长为Ｌ的导线中的电子总数Ｎ＝ｎＳＬ， ∴ 综合以上各式可得ｆ洛＝Ｂｖｑ． ?
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33．证明：如图13，设导线ａｂ沿平行导轨以速度ｖ匀速滑动，间距为ｌ，匀强磁场磁感强度为Ｂ，并设经Δｔ时间ａｂ向右移动距离为ｄ，Δｔ时间内闭合电路增加的面积为ΔＳ＝ｌｄ＝ｌｖΔｔ．因Ｂ⊥Ｌ，Ｂ⊥ｖ，故Δｔ时间内回路的磁通量增加为ΔΦ＝ＢΔＳ＝ＢｌｖΔｔ．依法拉第电磁感应定律，导线ａｂ中产生感应电动势为＝ΔΦ／Δｔ＝ＢｌｖΔｔ／Δｔ＝Ｂｌｖ，证毕．
图13
?
34．（1）录音原理（电流的磁效应）
?声音的变化经微音器转化为电流的变化，变化的电流流过线圈，在铁芯中产生变化的磁场，磁带经过磁头时磁粉被不同程度地磁化，并留下剩磁．这样，声音的变化就被记录成磁粉不同程度的磁化． ?（2）放音原理（电磁感应）
?各部分被不同程度磁化的磁带经过铁芯时，铁芯中形成变化的磁场，在线圈中激发出变化的感应电流，感应电流经扬声器时，电流的变化被转化为声音的变化．这样，磁信号就又被转化为声音信号． ?
35．解：带电粒子经电压U加速后速度到ｖ，由动能定理得Ｕｑ＝ｍｖ2／2．
?带电粒子以速度ｖ垂直射入匀强磁场Ｂ中，受到磁场洛沦兹力ｆ作用，因ｆ⊥ｖ、ｆ⊥Ｂ，带电粒子在磁场中垂直磁场Ｂ的平面内做匀速圆周运动，圆半径为Ｒ．则ｆ＝Ｂｑｖ．洛沦滋力ｆ就是使粒子做匀速圆周运动的向心力，即Ｂｑｖ＝ｍｖ2／Ｒ．带电粒子做圆周运动的周期为Ｔ，则Ｔ＝2πＲ／ｖ＝2πｍ／Ｂｑ．带电粒子每周内通过轨道截面的电量为ｑ，所以形成的环形电流的电流强度 ?Ｉ＝Ｑ／ｔ＝ｑ／Ｔ＝Ｂｑ／2πｍ． ?
36．如图14所示．
2
图14
电学计算题第26页（共39页）
?
力与电场方向相反，应为负电荷，且有
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37．解：（1）小球受三个力：重力Ｇ、电场力Ｆ、拉力Ｔ而平衡，如图15所示，由受力图可知，电场
图15
?Ｆ／Ｇ＝ｔｇ30°．∵Ｆ＝ｑＥ，
?Ｇ＝ｍｇ，∴ｑＥ／ｍｇ＝ｔｇ30°，
?ｑ＝ｍｇｔｇ30°／Ｅ＝3ｍｇ／3Ｅ．
?（2）小球在竖直方向由静止释放后，电场力做正功，重力做负功，小球动能增加，故有 ?ＷＦ－ＷＧ＝ｍｖ2／2，
?ｑｌｓｉｎ30°－ｍｇｌ（1－ｃｏｓ30°）＝ｍｖ2／2，
qElm?2gl(1?32)∴ ｖ＝ ?
=gl(433?2)．
38．解：根据法拉第电磁感应定律 ?1＝ΔＢＳ1／Δｔ， ?由欧姆定律：
2
＝ΔＢＳ2／Δｔ，
1
＝
2
．
?Ｉ1／Ｉ2＝Ｒ2／Ｒ1＝Ｌ2／Ｌ1＝ｒ2／ｒ1＝1／2，Ｐ1／Ｐ2＝Ｉ12Ｒ1／Ｉ22Ｒ2＝1／2． ?
39．解：当金属棒ａｂ以速率ｖ向右匀速运动时，
?ａｂ＝ＢＬａｂｖ＝3ＢＬｖ．
稳定时Ｕａｂ＝ａｂ－Ｉｒｃｄ＝3ＢＬｖ－ＢＬｖｒｃｄ／（Ｒ0＋ｒｃｄ）＝ＢＬｖ（3－1／2）＝5ＢＬｖ／2．
?带电粒子在平行金属板Ｅ、Ｆ之间恰能做匀速圆周运动，必有ｍｇ＝ｑＥ＝ｑＵａｂ／ｄ，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径Ｒ′＝ｍｖ／ｑＢ． 联立求解得ｖ＝8R/3．由题意可知 ?Ｒ′＜ｄ／2＝0.1ｍ， 可得 ｖ＜0.8/3= ?
40．解：（1）电压表满偏．若电流表满偏，则Ｉ＝3Ａ，Ｕ＝ＩＲ＝1.5Ｖ，大于电压表量程． ?（2）由功能关系Ｆｖ＝Ｉ（Ｒ＋ｒ）， 而 Ｉ＝Ｕ／Ｒ，Ｆ＝Ｕ2（Ｒ＋ｒ）／Ｒ2ｖ．
代入数据得 Ｆ＝123（0.5＋0.3）／0.5232＝1.6Ｎ． ?（3）由动量定理知ｍΔｖ＝ＩＢＬΔｔ，两边求和 ｍΔｖ1＋ｍΔｖ2＋?＝ＢＬＩ1Δｔ1＋ＢＬＩ2Δｔ2＋?
2
2151515ｍ／ｓ．
电学计算题第27页（共39页）
?
即 ｍｖ＝ＢＬｑ，
由电磁感应定律，有＝ＢＬｖ，＝Ｉ（Ｒ＋ｒ）， 解得 ｑ＝ｍｖ2／Ｉ（Ｒ＋ｒ）．
2
代入数据得 ｑ＝0.132／23（0.5＋0.3）＝0.25Ｃ． ?
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41．解：（1）当ａｂ边刚进无磁区域Ⅱ时，线框只有ｃｄ边在Ⅰ区中切割磁感线，由右手定则可判定ａｂ边中的感应电流为Ｉ1，其方向为由ｂ到ａ，大小Ｉ1＝回路中总电动势到ａ．
＝2
ｃｄ
／Ｒ＝ＢＬｖ／Ｒ．当ａｂ边刚进入磁
／Ｒ＝2ＢＬｖ／Ｒ，其方向为由ｂ
场区域Ⅲ时，ａｂ边和ｃｄ边分别在Ⅰ和Ⅲ区域中切割磁感线，每边产生的感应电动势为＝ＢＬｖ，
总
＝2ＢＬｖ，故ａｂ边中的电流为Ｉ2＝2
（2）要求拉力对线框所对的功，即求拉力克服磁场力做的功即可．将线框从Ⅰ区完全拉到Ⅲ区域过程中，ａｂ边从图16所示的Ⅰ区右边界位置起经历位置ａ1ｂ1、ａ2ｂ2、ａ3ｂ3三个不同阶段．
图16
? 在从ａｂ→ａ1ｂ1过程中，拉力克服磁场力做功为Ｗ1＝Ｆ拉ｓ＝ＢＩ1Ｌｓ＝ＢＬｖｓ／Ｒ． ?在从ａ1ｂ1→ａ2ｂ2过程中，拉力克服磁场力做功为Ｗ2＝Ｆ′拉（Ｌ－ｓ）＝2Ｆ磁′（Ｌ－ｓ）＝4Ｂ2Ｌ2ｖＲ（Ｌ－ｓ）．
?在从ａ2ｂ2→ａ3ｂ3过程中，拉力克服磁场力做功为Ｗ3＝Ｆ拉″ｓ＝Ｆ磁ｓ＝ＢＩＬｓ＝Ｂ2Ｌ2ｖｓ／Ｒ．
所以拉力所做的总功Ｗ＝Ｗ1＋Ｗ2＋Ｗ3＝2Ｂ2Ｌ2ｖｓ／Ｒ＋4Ｂ2Ｌ2ｖ（Ｌ－ｓ）／Ｒ＝2Ｂ2Ｌ2ｖ（2Ｌ－ｓ）／Ｒ． ?
42．解：（1）由题意分析可知：金属棒先向下加速运动，然后匀速运动，匀速运动时，金属棒速度最大．此时有ｍｇ＝Ｆ安，而Ｆ安＝ＩｌＢ，Ｉ＝／Ｒ总，＝ＢＷｍ，
2222
?ｖｍ＝ｍｇＲ总／ＢＬ＝0.131031.5／0.531ｍ／ｓ＝6ｍ／ｓ．
?（2）当ｖ＝3ｍ／ｓ时，因ｖ＜ｖｍ，故金属棒在加速下降，加速反方向竖直向下，且有ｍｇ－Ｉ′ｌＢ＝ｍａ，
?Ｉ′＝′／Ｒ总＝Ｂｌｖ／Ｒ总，得ａ＝ｇ－Ｂ2ｌ2ｖ／ｍＲ总＝5ｍ／ｓ2． ?
43．解：（1）分三种情况讨论：
?①若水平力Ｆ恰可与金属棒ａｂ的重力、轨道对金属棒的支持力平衡时，金属棒ａｂ的最大速率为零，此时Ｆ＝ｍｇｔｇθ．
?②若金属棒ａｂ沿轨道向上运动，设磁场对金属棒ａｂ的作用力大小为ｆ，方向沿轨道向下，当金属棒受力平衡时，速率ｖ最大，所以Ｆｃｏｓθ＝ｍｇｓｉｎθ＋ｆ， ?总＝ＢＬｖ，Ｉ＝总／Ｒ，ｆ＝ＢＩＬ＝Ｂ2Ｌ2ｖ／Ｒ ∴ ｖ＝（Ｆｃｏｓθ－ｍｇｓｉｎθ）Ｒ／Ｂ2Ｌ2．
?③若金属棒ａｂ沿轨道向下运动，磁场对金属棒ａｂ的作用力ｆ的方向沿轨道向上，当金属棒受力
2
2
电学计算题第28页（共39页）
?
联立解得：ｖ＝（ｍｇｓｉｎθ－Ｆｃｏｓθ）Ｒ／ＢＬ．
2
2
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平衡时，速率ｖ最大，所以：ｍｇｓｉｎθ＝Ｆｃｏｓθ＋ｆ，
?（2）当水平力方向向左时，金属棒ａｂ只可能沿轨道向下运动，设磁场力的大小为ｆ，ｆ的方向沿轨道向上，金属棒ａｂ不脱离轨道的条件是 ?Ｎ＝ｍｇｃｏｓθ－Ｆｓｉｎθ＞0，
故金属棒ａｂ沿轨道向下运动的条件是Ｆ≤ｍｇｃｔｇθ．
?（3）令Ｆ＝ｍｇｃｔｇθ，当金属棒ａｂ沿轨道向下运动时，磁场对金属棒ａｂ的作用力ｆ的方向向上，金属棒ａｂ速度最大时，受力平衡，ｍｇｓｉｎθ＋Ｆｃｏｓθ＝ｆ，
联立解得：?ｖ＝（ｍｇｓｉｎθ＋Ｆｃｏｓθ）Ｒ／Ｂ2Ｌ2＝ｍｇＲ／Ｂ2Ｌ2ｓｉｎθ． ?
44．解：（1）由图线可知ｔ＝3ｓ，ｔ＝5ｓ时，穿过线圈的磁场的磁感强度分别为Ｂ3＝3.5310－1Ｔ，Ｂ5＝2．0310－1Ｔ．
根据Φ＝ＢＳ，ｔ＝3ｓ，ｔ＝5ｓ时通过线圈的磁通量分别为 ?Φ3＝7.0310Ｗｂ，Φ5＝4.0310Ｗｂ． ?（2）在0～4ｓ，Ｂ在增加，线圈中产生的电动势为Ｉ1＝1／（Ｒ＋ｒ）＝0.2Ａ． 电流方向：从下向上通过电阻Ｒ．
?ａ点电势为Ｕｂａ＝Ｉ1Ｒ＝0.8Ｖ，ａ点电势为－0.8Ｖ，此时ａ点电势为最低在4－6ｓ，Ｂ在减小，线圈中产生感应电动势为 ?
2
1
－3
－3
＝ｎΔＢＳ／Δｔ＝1Ｖ，电路中电流强度
＝ｎΔＢＳ／Δｔ＝4Ｖ，
电路中电流强度为Ｉ2＝2／（Ｒ＋ｒ）＝0.8Ａ，方向自上而下通过Ｒ． ?ａ点电势为Ｕａｂ＝Ｉ2Ｒ＝3.2Ｖ． ?ａ点电势为3.2Ｖ时ａ点电势为最高．
45．（1）环自图17所示位置转过半周的过程中，磁通量的变化量为ΔΦ＝ＢπＲ2． 所用的时间为Δｔ＝Ｔ／2＝π／ω， 平均感应电动势＝ΔΦ／Δｔ， 解之得
＝ＢωＲ2．
图17
（2）环从图示位置转过ｔ时，由图17可得切割磁感线的有效长度Δｌ＝2Ｒｓｉｎωｔ，切割的平均速度＝ωΔｌ／2，感应电动势的瞬时值ｅ＝ＢΔｌ， 解之得 ｅ＝2ＢωＲ2ｓｉｎ2ωｔ． ?（3）正确的是图Ｄ． ?
电学计算题第29页（共39页）
?
2
2
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46．（1）导体棒ＭＮ在导轨上滑动做匀速运动时的受力如图18．由平衡条件ｍｇｓｉｎθ＝ＦＢ＋ｆ， ?ｆ＝μΝ＝μｍｇｃｏｓθ，ＦＢ＝ＢＩｌ＝Ｂｌｖｍ／Ｒ．
有 ｍｇ（ｓｉｎθ－μｃｏｓθ）＝Ｂ2ｌ2ｖｍ／Ｒ，
22
解得 ｖｍ＝ｍｇＲ（ｓｉｎθ－μｃｏｓθ）／Ｂｌ＝5ｍ／ｓ．
?（2）导体棒由静止开始下滑到刚开始匀速运动时通过导体棒截面的电量Ｑ＝2Ｃ，由此可求出导体棒在这一阶段移动的距离ｓ．
因 Ｑ＝ＩΔｔ＝Ｂ2ｌ2ｖΔｔ／Ｒ＝Ｂ2ｌ2ｓ／Ｒ，
?ｓ＝ＱＲ／Ｂｌ＝232／0.830.5＝10ｍ．
?在这一过程中导体棒有效电阻消耗的电功Ｗ，由能量守恒可得 ?Ｗ＝ｍｇ（ｓｉｎθ－μｃｏｓθ）ｓ－ｍｖｍ／2＝1．5Ｊ．
2
图18 图19
47．解：当Ｂ不同时，粒子可以不同半径做圆周运动（如图19所示），其中两个临界圆轨迹如Ａ、Ｃ，由圆Ａ、Ｂ可看出，当Ｒ≥ａ时，粒子从（0，ａ）到（ａ，ａ）边界射出，这时因为Ｂｑｖ＝ｍｖ2／ＲＲ＝ｍｖ／Ｂｑ≥ａ，所示Ｂ≤ｍｖ／ａｑ．此时对应角度π／2≥θ＞0．
?由圆Ａ、Ｃ可看出，当3ａ／4≤Ｒ≤ａ时，粒子从（ａ，ａ）到（－1.5ａ，0）边界射出，这时 ?3ａ／4≤ｍｖ／Ｂｑ≤ａ4ｍｖ／3ａｑ≥Ｂ≥ｍｖ／ａｑ， ?与之对应2π／3≤θ≤π．
?由圆Ｃ、Ｄ可看出，当Ｒ≤3ａ／4时，粒子从（－1.5ａ，0）到（0，0）边界射出，这时 ?ｍｖ／Ｂｑ≤3ａ／4，Ｂ≥4ｍｖ／3ａｑ，对应θ＝π． ?
48．解：（1）α粒子在磁场中做圆弧运动的半径为ｒ，由公式 ＦＢ＝Ｆ向，得ｑＢｖ＝ｍｖ2／ｒ，ｒ＝ｍｖ／ｑＢ＝0.2ｍ．
∴ｒ＝2Ｒ．α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点的轨迹如图20中虚线ｌ所示（即以Ｏ为圆心，ｒ为半径的半圆弧ＡＢＣ）．
?（2）α粒子在磁场中做圆弧运动中的轨迹半径ｒ大小一定，欲穿过磁场时偏转角最大，须圆弧轨道所夹的弦最长，即ＯＯ′Ａ共线，如图20． ??ｓｉｎφ／2＝Ｒ／ｒ＝1／2，φ＝60°．
图20
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