2 3 p?j1/6 1/12 1/4 1/6 1/6 1/2 1/6 0 1/4 1/2 1/4 P?X?Y??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3??16。
4．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
?cxy2f(x,y)???0(0?x?2,0?y?1),（其他）.
试求 (1) 系数c； (2) X和Y各自的边缘密度函数；
(3) P(X?Y)； (4) X与Y相互独立吗？为什么？ 解：（1）由概率密度性质?即?10?????2????f(x,y)dxdy?1，
x22?20cxydxdy?c?xdx??ydy?c?002212?0y313?02c3?1
故 c?32
??f(x,y)dy????（2）fX(x)???????1032xydy?02x2(0?x?1),(其他),
fY(y)????????f(x,y)dx?????2032xydx?3y022(0?y?1),(其他),
（3）P(X?Y)???x?yf(x,y)dxdy???011x32xydydx?0.152
（4）X与Y相互独立，因为f(x,y)?fX(x)fY(y).
5．求在D上服从均匀分布的随机变量?X,Y?的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y?2x?1围成的三角形区域；并写出关于X及关于Y的边缘密度函数。 解 区域D见图5.2。
易算得D的面积为S?12?1?12?14，所以?X,Y?的密度函数
f?x,y??
4,0,
?x,y??D其他
y 1 ?X,Y?的分布函数
F?x,y????????f?x,y?dxdy
yx当x?? 当
?121或y?0时，F?x,y??0； ?x?0,0?y?2x?1时
, -1 ? 0 1 x 122F?x,y???yx2y?y20dy?y?14dx?4xy?；
图5.2
2当?10,12?x?y?2x?时，F?x,y???xdxx?14dy?4x2?4x?1；
?1?202当x?0,0?y?1时，F?x,y???y020dy?y?14dx?2y?y；
2当x?0,y?1时，F?x,y???01dx?14dy?1
??2x02综合有
0, x??12或y?0
4xy?y2?2y, ?12?x?0且0?y?2x?1 F?x,y?? 4x2?4x?1, ?12?x?0且y?2x?1
2y?y2, x?0且0?y?1
1, x?0且y?1
X的边缘密度函数为
f??X?x?????f?x,y?dy
2x?1= ?04dy,
?12?x?0 =
4?2x?1?,00,
?12?x?
0,其他其他Y的边缘密度函数为 fY?y???????f?x,y?dx
?y?14dx,0?y?12?1?y?,0?y?1= 2 =
0,其他00,其他6． 设(X,Y)在平面区域G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布，求矩阵 ?0?A?X???2?Y210??0的特征值为实数的概率。 ?1??2[解]易计算?I?A?(??1)(??2??XY)，故
P{A的特征值为实数}?P{??2??XY?0的根为实数}?P{XY?1}
2?1?P{XY?1}?1???1211x12dydx?12(1?ln2)
7．设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域G上的均匀分布，试求两种产品需求量的差不超过1000吨的概G?{(x,y)2000?x?4000,3000?y?6000}，率.
解：设甲、乙两产品的需求量分别是X和Y ，则(X，Y)的联合密度为
1??f(x,y)??6?10?0,?6,(x,y)?G(x,y)?G
所求概率为(X，Y)落入如图3-4阴影处的概率 图3-4
p{Y?X?1000}?p{?1000?Y?X?1000}??4000dx2000?x?1000300016?106dy?13
第二节 独立性与条件分布
1 。袋中有2个红球，3个白球。现随机地抽取2次，每次抽取一个，定义
?1,X???0,第一次取到红球第一次取到白球?1,，Y???0,第二次取到红球第二次取到白球，
分别就有放回和无放回抽样两种情况，分别求(X,Y)的分布律和关于X,Y的边缘分布律，并问X,Y是否相互独立？
[解] （1）有放回抽样：
P{X?0,Y?0}?35?35?925 ，P{X?0,Y?1}?35?25?625
P{X?1,Y?0}?25?35?625，P{X?1,Y?1}?25?25?425
?(X,Y)的分布律和出边缘分布为：
Y\\X01pi?09625255164225255p?j3255
31显然有pij?pi??p?j，X、Y相互独立。 （2）无放回抽样：
P{X?0,Y?0}?3525?2434?310310，P{X?0,Y?1}?，P{X?1,Y?1}?3525?2414?310110
P{X?1,Y?0}??????(X,Y)的分布律和边缘分布为：
Y\\X01pi?0331010513110105p?j3255
321因p1??p?1?35?35?p11?310，X、Y不相互独立。
该例边缘分布相同，但联合分布不同，它说明由联合分布可唯一地确定边缘分布，但反之不然，需附加一定的条件。
2．如果二维随机变量(X，Y)的概率分布由下表给出，那么当?，?取什么值时，X与
Y才能相互独立？ 解：由(X，Y)联合分布列计算X和Y的边缘分布，并列于表中 Y 1 161312X 1 2 pj ?2 193 118pi 1313 19? ?? ? 118?? ???? 若X与Y相互独立， 则对于所有的i、j，都有pij?pi?pj，因此：
??p?X?1，Y?2??p?X?1??p?Y?2??p?X?1，Y?3??p?X?1??p?Y?3??1?11???????3?99?1?1??????3?18? （1） （2）
=
118 由（1）、（2）两式联立可解出：??29，??19.
3 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙命中的次数。试求X和Y的联合概率分布。
[解] X与Y的概率分布分别为X~b(2,Xpi00.6410.3220.040.2)，Y~b(2,Ypj00.2510.500.5)，即
20.25，
由X与Y的独立性：pij?pi?pj得联合概率分布为
Y\\X01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01
4设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y在1~X中等可能地取一个整数.求：⑴X?2时,Y的条件分布律；⑵Y?1时,X的条件分布律.
k P(Y?k|X?2) 1 2 3 4 0 0 k P(X?k|Y?1)1 0.48 2 0.24 3 0.16 4 0.12 0.5 0.5
5设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
ke0,??3x?4y?f?x,y?? ,
x?0,y?0其他
求：（1）系数k；（2）P?0?X?1,0?Y?2?；（3）证明X与Y相互独立。
解 （1）k必须满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dy?0ke??3x?4y?dx?1，经计算得k?12；
??????????3x?4y??3?8dx??1?e??1?e?； （2）P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e21（3）关于X的边缘密度函数
fX?x?????????3x?4y?x?012edy,?f?x,y?dy? 0
??0,其他= 同理可求得Y的边缘密度函数为
3e0,?3x,
x?0其他