fY?y?? 4e0,?4y,
x?0其他
易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???，因此X与Y相互独立。
6已知(X,Y)的联合密度函数为
?21x2y3，0?x?y?1 f(x,y)??
0，其它?（1）求在Y?y的条件下X的条件概率密度函数 （2）X与Y是否相互独立？说明理由。 （3）求P{0?x?12|Y?12}
[解]（作图）易求得 ?7y6 fY(y)???0f(x,y)0?y?1其他?2124?x(1?x)，fX(x)??4?0?0?x?1其他
（1）fX|Y(x|y)??3x2y3??fY(y)0?0?x?y?1其他
（2）f(x,y)?fx(x)fY(y)?X与Y不相互独立 （3）P{0?x?12|Y?121/2}??0fX|Y(x|121/2)dx?0?2?3xdx?1
032??1X~7 已知随机变量X,Y的概率分布??1/41/21??0Y~?，?1/4??1/21??，而且1/2?（2）问X,Y是否相互独立？为什么？ P{XY?0}?1。求(X,Y)的分布率；
[解]（1）由P{XY?0}?1，得P{XY?0}?0， 由于{X??1,Y?1},{X?1,Y?1}?{XY?0}，
故P{X??1,Y?1}?P{X?1,Y?1}?0，再由边缘分布易求得联合分布
Y\\X01pi??11/401/4001/21/211/401/4p?j1/21/21
（2）因为P{X??1,Y?0}?1，而 P{x??1}P{Y?0}?1?1?1，所以X与Y4424不相互独立。
8 设随机变量X1,X2,X3,X4独立同分布，
P{Xi?0}?0.7，P{Xi?1}?0.3，(i?1,2,3,4)
（1）求随机变量X?X1X3X2X4的分布律；
（2）求方程组??X1z1?X2z2?0只有零解的概率。
Xz?Xz?042?31[解]（1）X?X1X4?X2X3，X可能的取值为?1,0,1
P(X1X4?0)?P(X1?0,X4?0)?P(X1?0,X4?1)?P(X1?1,X4?0)
?0.7?0.7?0.7?0.3?0.3?0.7?0.91
P(X1X4?1)?P(X1?1,X4?1)?0.3?0.3?0.09
由对称性，P(X2X3?0)?0.91，P(X2X3?1)?0.09 由X1,X2,X3,X4相互独立?X1X4与X2X3相互独立
P(X??1)?P(X1X4?0,X2X3?1)?0.91?0.09?0.0819 P(X?1)?P(X1X4?1,X2X3?0)?0.0819
P(X?0)?1?2?0.0819?0.8362
01???1故 X~??
0.08190.83620.0819??
（2）P(X1X4?X2X3?0)?P(X?0)?2?0.0819?0.1638
9．设随机变量X与Y的联合分布律为
X\\Y 0 1 2 且P?Y?1|X?0??独立？为什么？
解 （1）a,b必须满足??pij?1，即
j?1i?1230 225a 1 b 325225 125 35，（1） 求常数a,b的值；（2）当a,b取（1）中的值时，X与Y是否
225?b?a?325?125?225?1，可推出a?b?1725，
另外由条件概率定义及已知的条件得
P?Y?1|X?0??P?X?0,Y?1?P?X?0?1725?b225?b?35
由此解得b?a?325，结合a?b?可得到a?1425，
1425325即 b?
（2）当a?1425,b?325时，可求得P?X?0??225525,P?Y?0??1725，易见
P?X?0,Y?0???P?X?0?P?Y?0?
因此，X与Y不独立。
第三节 二维随机变量函数的分布
1． [解] (1) Z?X?Y~?(2?)（可加性）
?m??2（2）P{M?m} ?(m!e2)?2?em?2?m?1m!?(?i?0?ii!),m?0,1,2,?
??ne?? （3）P{N?n}???n!?n?2???e??2?n!?i?n?1?(i!),n?0,1,2,?
?i?1?e??y,2 ．[解] FY(y)???0,y?0y?0，即Y~E(?)
3． Z?2X?Y概率密度函数为
??0,z?0??1?z? fZ(z)?FZ(z)??(1?e),0?z?2
2??1(e2?1)e?z,z?2??24 ．(X,Y)的概率密度为
?1??2?z?, 0?z?2 fZ(z)?F?(z)??2?? 0, 其它?0,5． F?x,y???-z-z?1-e-ze,z?0;z?0.
1?fx?fyx??,???yx?6． f?x,y???xx?0,???lny,0?y?1 fy?y???0,其它?0?y?x?1其他
P?x?y?1??1?ln2
7．
（1）
X?Y ２ 14３ 38４ 14５ 18概率 （２）
X?Y -２ 18-1 140 141 142 18概率
（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为 Ｘ １ ２ 概率 由此得2X的分布律为
Ｘ 概率 （４）
XY ３ 1458 18 ２ 58４ 18６ 14 1 142 383 146 18概率
8．
解 （１）
U １ 19２ 13３ 59概率 （２）
V １ 59２ 13３ 19概率
第三章 总复习题
一、填空题
1．（1）p(a?X?b,Y?c)?F(b,c)?F(a,c) （2）p(X?a,Y?b)?F(a,b)
（3）p(0?Y?a)?F(??,a)?F(??,0) （4）p(X?a,Y?b)? F(??,b)?F(a,b)
2．????13
??219;??9。
?213．f(X,Y)??1?21?x?e,0?y?x
??0其他4． B（0.2，3） 。 5. 1?z????2??Φ()?Φ(z????)????? ?6.78
7.
1516
8． 23(x?1)。
9.
12
10 a?34
二、选择题
1．（ B ）2． (C)3．
（ A ）4．（ C ）5．（D ）