nm?Xi1?n?1n?i?1Xi~t(m);
2 （1）Y1?nni?1n?mn?m2?i?n?1Xi2?1n2?i?n?1Xi/mm?X2i （2）Y2?n*n?1n?m?Xi2?1?Xi?1n?m2i/n~F(n,m).
?i?n?1?2?i?n?122Xi/m)，?(Y??2)~N(0,2 5.解 ?(X??1)~N(0,所以
??1n1??2n222)，又?1??2
?(X??)??(Y??2)~N(0,(
?2n1??2n2)?)
2?(X??)??(Y??2)?22n1??2~N(0,1)
n2?2而 所以
(n1?1)S1?(n2?1)S2?2~?(n1?n2?2)
2
?(X??1)??(Y??2)(n1?1)S?(n2?1)Sn1?n2?22122
2????????2??n12[?(X??1)?B(Y??2)]/?2 ?n1??2n2?~t(n1?n2?2).
(n1?1)S?(n2?1)S2122?
四．证明题 1．证 （1）
1n2/(n1?n2?2)Xi?独立同分布于N?0,1?，由?2?X?分布的定义，??i?~?2?n?，即
i?1???n2?222?Xi~??n?。 i?1nn（2）易见，?Xi~N?0,n?i?12即?，
?i?1Xi2n?~N10,???n??Xi2?i?1，由?分布的定义，
?n?2?????~?2?1?，???2即
1n?2?n?2??Xi?~??1?。 ?i?1?22．证 X1,X2,?,Xn独立同分布，Xi~E(?)，
今先证2?Xi~?2(2),i?1,2,?,n. 设Y?2?Xi的分布函数为FY(y)则
FY(y)?P(Y?所以Y的密度为
y????e2?,?fY(y)??2??0,?y?1?2y?0,?e,??2?0,y?0.?y)?P?(2iX?y)?yP(X?i2??y??2??,y?0 ??)1?e?,y?0?0y?0,y?0;
注意到?(1)?1，则Y的概率密度为
2y?1??1y2e2,?2?2fY(y)??22?()2???0,2可见2?Xi~?(2).
y?0
y?0.n 由?分布的可加性立即得到2??Xi~?2(2n).
i?12 第六章 习题6－1
一、填空题
⑴；limP{??????}?1
n?? ⑵E(??)?? ⑶D(??1)?D(??2) （4）X 二．解答题
2n??1n?2n?1． 解 E??E?2X??2E?X??2E??Xi???E?Xi?????
ni?12?ni?1?ni?1??故?的矩估计量2X是?的无偏估计。
???E?2．证明：E???1nX?i???E?Xi? ?ni?1?ni?1?1n?1nni?1????x?1nn??12?e?x?dx?1nni?1?2?0x???12?e?x?dx??
??故?的最大似然估计??Xi是?的无偏估计。
i?1
习题6－2 点估计的常用方法
??X。 1. E?X??p，故p的矩估计量有pp??的最大似然估计量p1nn?Xi?Xi?1。
2. ?的矩估计量???1X。
nn最大似然估计量???3.?的矩估计量???X。
n?1X。
?Xii?1最大似然估计量???4.解：????20.1 ?2?Xii?1n?X，?的最大似然估计值???1。
2?0.12 s?0.137141
5.解：⑴ 矩估计：?p??
?1⑵ 极大似然估计：?p6.解：① 矩估计：E? ??1E???
??x????xe0dx??xe??x??0????e0??xdx??1???e??x0?1?
,???1?
n② 极大似然估计：L??????ei?1n??xi????en?xii?1 lnL????nln?ni?1n???xii?1n
dlnL??d???n???xi?0i?1n? ??,???1?xi?
?7.解：① 矩估计： ?????1
?② 极大似然估计：???ni?1?ln?in
习题6－3 置信区间
一.填空题
1. （12.71，13.29） 2.
u?2
3. 书上160例题 4． 300 二.解答题
1. 解 由于?2?0.22已知，所以选用?的1??置信区间
????X?u,X?u????1?1?22nn??。
当1???0.9，查表得
x?14.95,n?6,
u1???u0.95?1.642，当1???0.99，查表得
u1???u0.995?2.5762。
?0.20.2?14.95?1.64?,14.95?1.64???66???代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为
?14.82,15.08?。
?0.20.2?14.95?2.576?,14.95?2.576???66???的双侧0.99置信区间观测值为，即为
?14.74,15.16?。
2. 解 由于?和?都未知，故?的1??双侧置信区间为
**?SS?,X?t1???n?1??X?t1???n?1??22nn??，
?的1??双侧置信区间为
??22nSnS??,22????n?1????n?1??2?1?2?，
2
代入数据得
x?65.14,s2?108.41,s?11.25,t0.975?6??2.45,n?7,?0.95?6??0.05?6??1.635*22，
?11.2511.25?65.14?2.45?,65.14?2.45???77??的0.95双侧置信区间观测值为?，即为
?54.74,75.54?。
?7?108.417?108.41??12.592,1.635?2
?的0.9双侧置信区间观测值为??，即为?60.3,464.14?。
?*2*2?????n?1Sn?1S??,22????n?1????n?1??1?22?，代入数据得的双侧置信区间为?23.解 由于?未知，故?n?9,S*222
?121,?0.975?8??17.535,?0.025?8??2.18，
?8?1218?121?,?2
2.18??的0.95双侧置信区间观测值为?17.535?，即为?55.204,444.037?。
故?的0.95双侧置信区间观测值为55.204,444.037，即为?7.43,21.07?。
??习题6－4 正态总体的置信区间
一.填空题 1. (4.412,5.588) 2. (305.69, 334.31) 3. (7.43, 21.07) 二.解答题
1. ?的0.95单侧置信下限观测值为4.285，?的0.95单侧置信上限观测值为4.443。
2.故?的0.95双侧置信区间观测值为?157.4,182.6?。 3. ??1.68,7.68?。 4.（0.396,3.768）.