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? P 故?2的概率分布为
0 1 2 (1?p)2 2p(1?p) p2 ? P 所以?2的数学期望为
1.3 1.25 0.2 (1?p)2 2p(1?p) p2 E?2=1.3?(1?p)+1.25?2p(1?p)+0.2?p=?p?0.1p?1.3. 解法2: ?1的概率分布为
222?1 P E?1=1.2?1.2 1.18 1.17 1 61 21 3111+1.18?+1.17?=1.18. 623设Ai表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则 P(?=0)= P(A1)P(A2)?(1?p)2;
P(?=1)=P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)?2p(1?p); P(?=2)=P(A1)P(A2)?p2 故?2的概率分布为
? P 所以?2的数学期望为
1.3 1.25 0.2 (1?p)2 2p(1?p) p2 E?2=1.3?(1?p)+1.25?2p(1?p)+0.2?p=?p?0.1p?1.3. (II) 由E?1?E?2,得:
222?p2?0.1p?1.3?1.18?(p?0.4)(p?0.3)?0??0.4?p?0.3
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因0 【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力. 33．（辽宁卷）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力. 1解：（Ⅰ）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C2?0.6?0.4?0.48 1乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C2?0.6?0.4?0.48 故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为 P?0.48?0.48?0.2304 （Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.4?0.0256, 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 4P?1?0.0256?0.9744 1解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C4?0.6?0.4?0.1536 2?0.62?0.42?0.3456 甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C42?0.62?0.42?0.3456 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C4甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为0.64?0.1296 故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 P?0.1536?0.3456?0.3456?0.1296?0.9744 34．（全国卷I）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白 鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为 2，服用B有效的概率为31。 2（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察3个试验组，用?表示这3个试验组中甲类组的个数，求?的分布列和数学期望。 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只\Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只\ 第 12 页 版权所有@中国高考志愿填报门户 www.gaokao100.com.cn 您身边的志愿填报指导专家 124224111 依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , 339339224111 P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2) 2221414144 = × + × + × = 4949299 4512545100(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=, 99729992434580464 P(ξ=2)=C32×()2× = , P(ξ=3)=( )3= 992439729ξ的分布列为: ξ P 0 1 2 3 1251008064 72924324372935．（全国卷I）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白 鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为 2，服用B有效的概率为31。 2（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只\Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只\ 124224111 依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , 339339224111 P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2) 2221414144 = × + × + × = 4949299 4604(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－)3= 9729 36．（全国II）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽 取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． （Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率． 第 13 页 版权所有@中国高考志愿填报门户 www.gaokao100.com.cn 您身边的志愿填报指导专家 解(1.) ??0,1,2,3 1122C3218C32C4C3?C2C4C19244P( ??0)=2?2??? P( ??1 )=2?2?2? C5C510050C5C5C5C52501112212C3?C2C4C4C2C4C2152P(??2)?2????P(??3)??? C5C52C52C5250C52C5250所以?的分布列为 ? P 0 1 2 3 2415 5050924152?的数学期望E(?)=0??1??2??3??1.2 5050505015217(2)P(??2)=P(??2)?P(??3)? ??5050509 502 50本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大 37．（全国II）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。 （II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。 解：设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1； Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2； （1）依题意所求的概率为 1112C32C4C3?C2C412?2?2?2?P ?i?P(A1?B0)?P(A0?B1)?P(A1)P(B0)?P(A0)P(B1)C5C5C5C52252C32127C4?1?2?2??(2)解法一：所求的概率为P2?1?P(A0?B0)?P 1C5C52550解法二：所求的概率为 P2?P(A1?B1)?P(A0?B2)?P(A1?B2)?P(A1)P(B1)?P(A0)P(B2)?P(A1)P(B2) 1112212C3?C2C4C4C2C4C217?2?????? C5C52C52C52C52C525038．（山东卷）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用?表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； 第 14 页 版权所有@中国高考志愿填报门户 www.gaokao100.com.cn 您身边的志愿填报指导专家 (2)随机变量?的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率. 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 3111C5?C2?C2?C22?则P(A)? 3C103解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同” 121C5?C2?C81?的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)?，所以3C10312P(A)?1?P(B)?1??. 33（II）由题意?有可能的取值为：2，3，4，5. 21122112C2?C2?C2?C2C4?C2?C4?C212P(??2)??;P(??3)??; 33C1030C1015112112C62?C2?C6?C2C82?C2?C8?C238P(??4)??;P(??5)??; 33C1010C1015所以随机变量?的概率分布为 ? 2 3 4 5 P 因此?的数学期望为 1 302 153 108 15E??2?123813?3??4??5?? 3015101532313 ??151030（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则 P(C)?P(\??3\或\??4\?P(\??3\?P(\??4\?39．（山东卷）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求： (Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念； (Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率. 解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意 1221C2C6?C2C69P(A)?? 3C814（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则 21C2C63P(B)?? 3C828（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件 第 15 页 版权所有@中国高考志愿填报门户