第一章 习题解答
1.1 已知不变线性系统的输入为
g?x??comb?x?
?f?系统的传递函数Λ??。若b取（1）b??.?（2）b??.?，求系统的输出g'?x?。并画出
?b?输出函数及其频谱的图形。
答：（1）g?x??F?δ?x???? 图形从略，
????? （2）g?x??F?δ?fx??δ?fx????δ?fx???????cos??πx? 图形从略。
?????
1.2若限带函数f?x,y?的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零， （1）如果a??L，b???W，试证明
?x??x?sinc??sinc???f?x,y??f?x,y? ab?a??b?证明：
?fxfy??F?f?x,y???F?f?x,y??rect?,????F?f?x,y??rect?afx,bfLW???f?x,y??F?L-1y?
?F?f?x,y??rect?af?W,bfxy????x??xsinc??sinc?ab?a??b????f?x,y??（2）如果a?， b?，还能得出以上结论吗？
?fxfy???????Ffx,yrect,答：不能。因为这时???F?f?x,y??rect?afx,bf?LW?y?。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 h?x,y???sinc??x???y?
试用频域方法对下面每一个输入fi?x,y?，求其输出gi?x,y?。（必要时，可取合理近似）
1
（1）f??x,y??cos??x
g??x,y??F???F?f?x,y??F?h?x,y????F????F?cos?πx?F??sin?7x?δ?y????F?cos?πx???cos?πx
答：
?F????fx??Fcos?πxrect??????????F?????x（2）f??x,y??cos??πx?rect??????y?rect???
?????答： g??x,y??F?F???F?f?x,y??F?h?x,y????F?????F???x??cos?πxrect?????????y????????rectF?sin7xδy?????????????????F?cos?πx???????sinc?75f??sinc???x?f???x??y?fy??rect?x???cos??πx?rect??rect???????????????x（3）f??x,y?????cos??πx??rect????g??x,y??F?F???? ?????x????F??sin?7x?δ?y????F????cos??πx??rect???????????答：
?F?????F???cos??πx?????sinc?75f??δ?fy??rectx?fx?????????
???fx?????????x????????????????δx?δf???δ?fx???????sinc?75f???x??????????sinc?75f???δ?fy??rectxxy?F???δ?fy?rectx?fx??????F?????????sinc?75f?δ?f???rect??（4）f??x,y??comb答： g??x,y??F?F??x???rect??x?rect??y??
?F?comb?x???rect??x?rect??y???F??sin?7x?δ?y?????fy???f??f?rect?x?sinc?x?sinc??????2???????????????????????????comb???????fx?δ?fy???F?F??????fx???????????δf,f??.???δf??,f??.???δf??,f??.???δf??,f??rect????xyxyxyxy?????????0.25δ?fx,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy????.????.???cos?2πx???.???cos?6πx?
1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波
2
gi?x?????x??x??combrect??????Λ????????????x?
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）H?f??rect??f?? ???（2）H?f??rect??f??f???rect?? ??????答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形
G(f)?F?x?x???1?gi(x)???F?comb()??F?rect()???(x)??3?50??3???
2??comb(3f)?50sinc(50f)?sincf方括号内函数频谱图形为：
502
5343123131323143532f图1.4（1）
sinc2图形为：
3
10.6850.170.041
231313231f
图 1.4（2）
因为sinc2f的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时sinc2f的最大值小于0.04%。故图解G(f)频谱结果为：
G(f)5050*0.68550*0.17123
图 1.4（3）
传递函数（1）形为：
131323f
4
f11图 1.4（4）
1
因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：
???(f)?0.685?11?22?????(f?)??(f?)?50sinc(50f)?0.171?(f?)??(f?)?? ???3333?????其反变换，即输出函数为：
x2?x?1?1.37cos2??0.342cos2?xrect() ??33?50?该函数为限制在??25,25?区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（2）形为：
1f
图 1.4（5）
5