答：圆形孔径的透过率可表示为
??t?x?,y???circ????x??y????a????U??x?,y???circ????x??y??? ?a?根据式(2.53)有
exp?jkz?jλz?exp???????expjx?y???circ??????z????k???x??y????a??U?x,y??
?π?k?????jx???y???exp?jxx??yy??dx?dy??????λz???z?轴上的振幅分布为
exp?jkz?jλz??circ?????????x??y???k??expj?x???y???dx?dy????a??z??U??,?,z??
?exp?jkz?jλz?πa??exp????k???k???jrrdrdθ?exp?jkz????expja??????z???z????轴上的强度分布为
????k??????U??,?,z??exp?jkz????expja??????cos?a??????z????z????
?k????sin?a??z??k2
2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为
x? t?x???a?bcos?π
d式中，d为光栅周期，a?b??，a?b??。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数值：（1）z?zT??d??；（2）z?zT??d??；（3）z?zT??d???（式中zT称作泰伯距离）
时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为 U?x强度分布为
?,y???a?bcos?πx?d
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x??? I?x?,y????a?bcos?π?
d???角谱为
x???A??fx,fy?????a?bcos?π?exp??j?π?x?fx?y?fy??dx?dy?d????b????aδ?fx,fy???δ?fx?,fy???d???????δ?fx?,fy??d?????
传播距离z后，根据式(2.40)得到角谱
A?fx,fy,z??A??fx,fy?expjkz???λfx???λfy?????????? ????expjkz??λf?λf???xy?????b???????aδf,f?δf?,fy??xxy????d?????δf?,fy??xd????b????aδ?fx,fy?exp?jkz???δ?fx?,fy2??d?????????λ???δ?fx?,fy??exp?jkz?????d?d?????????利用二项式近似有
????????λ???πzλ??λ????exp?jkz?exp????j exp?jkz??????exp?jkz? ????????d??dd????????????故
?b?????A(fx,fy,z)?exp?jkz??aδf,f?δf?,fy??xxy?2d???????δf?,fy??xd??????exp???πzλ???j??? ?d????（1）z?zT??d??时
???πd??b?????A(fx,fy,z)?exp?jaδf,f?δf?,fy???xxy???λ2d?????????δf?,fy??xd????????? ???与A??fx,fy?仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。 （2）z?zT??d??时
???πd??b????????A(fx,fy,z)?exp?jaδf,f?δf?,f?δf?,fy?????xyxyx???λ2dd?????????????? ???对应复振幅分布为
22
U?x,y??a?bcos?πxdx?d??a?bcos2πd
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。 （3）z?zT??d???
?b?????A(fx,fy,z)?exp?jkz??aδf,f?δf?,fy??xxy?2??d?????δf?,fy??xd??????exp???π???j?? ??????对应复振幅分布为
x?? Ux,y?exp?jkz?a?jbcos?π
?d?????强度分布为
Ix,y?a??b?cos2?π
2.13 图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为?，光栅
整体孔径为边长L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求距离光栅为z的
??xd
?观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，
应如何选择？
LaLa
23
图2.16（ 题2.13）
答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为
?x???x??x??y? U?x?,y???exp?jkxtgα?n-1??rec?t??combrectrect? ?????aaaLL????????其角谱为
A??fx,fy????Ux0,y0exp??j?π?x?fx?y?fy??dx?dy??????
tgα?n????????δ?fx???asinc?afλ?????comb?afx??δ?fy??L?sincLfx??xsincLfy?tgα?n?????????asincaf??????comb?afx?λ???????δ?fy??L?sincLfx???
xsincLfy??tgα?n???????????????asincaf??δaf?mδf?LsincLf?????xxy??λ??????xsincLfy若让衍射图样中的m级谱幅值最大，应选择?使得 因而有 α?
2.14 设u(x)为矩形函数，试编写程序求p?14，12，34时，其分数阶傅里叶变换，
并绘制出相应U?p?tgα?n-1?m? λa?n??tg??mλa
???的曲线。
答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)
1??exp?G????Fa?g?x?????????????j????22?sin??????????????2?j?2?x2j?xexp???2tg?sin?????????g?x?dx ?以及式 p???? (2.79)
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即可编程计算p?14，12，34时的分数阶傅里叶变换（此处略）。
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