可见度的变化周期数n?每个周期内的条纹数?
Nn?c???????60??????60.1?60
58930?982
4.3假定气体激光器以N个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为 ????? g?N?N????n???N???????????nΔ??
式中，Δ?是纵模间隔，?为中心频率并假定N为奇数。（1）证明复自相干度的模为 ?????sin?N?Δ??Nsin??Δ? ???(2)若N??，且0???1Δ?，画出????与Δ??的关系曲线。
证明：（1），复相干度?（?）与归一化功率谱密度即光源的光谱特性间具有下列关系：
???????^0G(?)e?j2???d?
将（4.3.1）式带入得到
??????1N1Ne1N??0(N?1)2?n??(N?1)2(N?1)2?(????n??)eej2?n????j2???d??j2????n??(n?1)2
n(n?1)2?e?j2????(n?1)2j2???????e?n?0j2????????en?0?j2?????n??1??(N?1)2其中
?n?0?e?n?1?ej2????(N?1)/2j2????1?e
(N?1)2??en?0?j2?????n?1?e?j2????(N?1)/2?j2????1?e
因而
?????1N?j2????(N?1)/2??exp??j2?????N?1?/2??exp?j2????(N?1)/2?exp?(j2???)?exp???j2????(N?1)/2?/?2?exp(j2????)?exp??exp(j2????)?
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=
=
1N1Nee?j2???cos2????(N?1)/2?cos2????(N?1)/21?cos2????sin????Nsin????
?j2???
复相干度的包络则为 ??????????（2），当N=3时， ?????sin3????3sin????sin????NNsin????
其?????曲线如图1所示。
? ??? 图1 多模激光复相干度包络曲线（N=3）
4.4 在衍射实验中采用一个均匀非相干光源，波长??550nm，紧靠光源之前放置一个直径1mm的小圆孔，若希望对远处直径为1mm的圆孔产生近似相干的照明，求衍射孔径到光源的最小距离。
答：用做衍射实验的相干度应当用上题中提到的沃尔夫用的阈值，由理想值1下降到0.88为最大容许偏离值，因而相干面积直径与光源半径之间满足下列关系： d?0.16?za
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则
z?da0.16??1?0.50.16?550?10?5.68m
3即光源小孔与衍射小孔之间最小相距5.68m才能在衍射实验中较好地满足相干照明的要求。
4.5 用迈克尔逊测星干涉仪测量距离地面1光年(约10m) 的一颗星的直径.当反射镜M?与M?之间距离调到6m时,干涉条纹消失.若平均波长??550nm，求这颗星的直径。 答：φ?Dα?D
16
?.??λd??????.???????????km??.?????km。
?4.6 在杨氏双孔干涉实验中(图4.17),用缝宽为a的准单色非相干缝光源照明,其均匀分布的辐射光强为I?，中心波长?????nm.(1)写出距照明狭缝z处的间距为d的双孔Q1和（2）若a??.?mm,z??m,d??mm，Q?（不考虑孔的大小）之间的复相干因子表达式。
求观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度。（3）若z和d仍然取上述值，要求观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为多少?(4)若缝光源用两个相距为a的准单色点光源代替, 如何表达Q1和Q?两点之间的复相干因子?
QS'aQz1d2
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图 题4.6
答：根据范西特-泽尼克定理，当光源本身线度以及观察区域线度都比二者距离z小得多时，观察区域上复相干因子正比于光源强度分布的归一化傅里叶变换。本题的条件能够满足这个要求。因而有
?π???x1?exp?jψ???I0rect?x?Δξ?y?Δη?dx?dy??exp??jλz?a?????μ?Λξ,Δη????x1?Irect?dxdy??0??a????????x?π?π??????exp?jψ??rect?1?exp??jx?Δξ?dx??exp??jy?Δη?dy?λzλz?a???????????x1???dx??exp?rect??a??????????π???jyΔηdy????λz????Δη????Δξ??Δη?exp?jψ?sinc?a?δ???λz??λz?δ???当当Δη??Δη?? (4.75)
?Δξ??exp?jψ?sinc?a??λz??式中??k?z??????????????????????k?z????而??和??分别为Q1和Q2两点到光轴???? ，
?的距离。
（2）当a??.?mm,z??m,d??mm，有 ?Δξ?μ??,???exp?jψ?sinc?a??sinc?λz?3??.??-330.6?10?1?10?????.??? ?观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度为0.637。
（3）若z和d仍然取上述值，观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为 a?0.667?0.6?10??????-3???.???mm
（4）若缝光源用两个相距为a的准单色点光源代替, Q1和Q?两点之间的复相干因子可以
表达为两个复指数函数之和，因而随着Q1和Q?两点之间的距离按照余弦函数方式变化。
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4.7一准单色光源照明与其相距为z的平面上任意两点P?和P?，试问在傍轴条件下这两点之间的复相干因子幅值为多大？ 答：
xy? ? 1,P1(XY1)SP1(X2,Y2)z
图 题4.7
解：首先建立如上图的坐标系，光源位于ξ-η坐标原点，ξ-η与x-y两平面间距为z，P1与P2两点坐标分别为(x1,y1)与(x2,y2)，并满足如下近轴条件： z?x1?y1,x2?y2 2222做为准单色点光源，其光源可表示为
I(?,?)?I0?(?,?)
其中δ为狄拉克函数。直接利用范西特-泽尼克定理计算复相干系数如下：
?(P1,P2)e??j??j??2a?????I0?(?,?)exp?j?z(?x???y?)?d?d???????e???I0?(?,?)d?d?
??2222??exp?j(x2?y2?x1?y1)???z?因为?(P1,P2)?1，由点光源发出的准单色是完全相干的，或者说x-y面上的相干面积趋
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