式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：
（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场Ul； （2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场
Ul，这个场传到像面上形成物体的像。
'为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为
exp(jkUl?x?y2d022)?jλdi??t(x0,y0)exp(jk??x0?y02d022)exp(?jkxx0?yy0d0)dx0dy0
这里假定t(x0,y0)只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为??，此积分可以看成
x0?y02d022是函数t(x0,y0)exp(jkxλd0yλd0)的傅立叶变换，记为F(fx,fy)，其中
fx?,fy?
在紧靠透镜后表面处
exp(jkUl?'x?y2d022)F(fx,fy)exp(jkx?y2f22jλd0)
这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面?2上的光场
exp(jkUi(xi,yi)?xi?yi2di22)?jλdi??Ul?exp(jk??x2?y2f2)exp(?jkxxi?yyidi)dxdy
xi?yi2di22exp(jk?)exp(jk?x?y2d022)exp(?jkjλdi????F(fx,fy)exp(?jkx?y2f22jλd0di)dxdy)exp(jkx?y2di22)xxi?yyi
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exp(jk?2xi?yi2di22)?λd0di????F(fx,fy)exp[jkx?y222(1d0?1di?1f)]exp(?jkxxi?yyidi)dxdy
由题设知，
1d0?1di?1f?0 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径
的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为
exp(jkUi(xi,yi)??2xi?yi2di22)?λd0di????F(fx,fy)exp(?jkxxi?yyidi)dxdy
exp(jk??2xi?yi2di22)?λd0di????F(xλd0λd0,yfx,fy)exp(?j2π(xxiλdi?yyiλdi)dxdy
注意
xidi??x0d0,dfx?dxλd02,dfy?dyλd0, 于是得
exp(jkUi(xi,yi)??xi?yi2di2)?di/d0??F(f??x,fy)exp(?j2π(xfx?yfy))dfxdfy
??d0diexp(jkxi?yi2di22)t(x0,y0)exp(jkx0?y02d022
??d0diexp(jkxi?yi2di22)exp(jkx0?y02d022)t(x0,y0)
再考虑到x0和xi之间的关系得到 Ui?d0dit(?xid0di,?yid0di)
即得到像平面上倒立的，放大
did0倍的像。
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3.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。
解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数
L(x)?1xrect() 其传递函数为 aaH(fx)?sin(πafx)πafx
对于大气扰动系统，设目标物为一细线，若没有大气扰动，则理想成像为一条细线。由于大气扰动，使在爆光期间内细线的像作随机晃动，按照概率理论，可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为a，细线的线扩散函数为 L(x)?12πaexp(?x222a)
对上式作傅立叶变换，就得到大气扰动系统的传递函数 H(fx)?exp(?2πafx)
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3.8 有一光楔（即薄楔形棱镜），其折射率为n，顶角α很小，当一束傍轴平行光入射其上时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度（n-1）α，试根据这一事实，导出光束的位相变换函数t。 解：如图所示，
设入射平行光与Z轴成θ角入射，按傍轴条件，θ角很小，入射到光楔上的光场为 U1?Aexp(jkxsinθ)?Aexp(jkxθ)
(x,y) δ=-(n-1)α θ 通过光楔后的出射光场为
U2?Aexp?jkxsin?θ??n?1?α???Aexp?jkx?θ??n?1?α??
其中 –(n-1)α表示偏转是顺时针方向，即向底边偏转，又根据出射光场，入射光场和光楔变
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换函数三者的关系 U2?tU1 有 Aexp?jkx?θ??n?1?α???tAexp(jkxθ) 于是有 t?exp[?jk(n?1)α]。
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第四章 习题解答
4.1 若光波的波长宽度为Δ?，频率宽度为Δ?，试证明：
Δ???Δ??。设光波波长为
??试计算它的频宽Δ?。若把光谱分布看成是矩形线型，?????.?nm，Δ??????nm，
那么相干长度lc?? 证明：???
4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为??????.?nm，?2????.?nm的钠双线，每一谱线的宽度为?.??nm。（1）试求光场的复自相干度的模。（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 G????^???2c?1.5?10赫，lc?ctc?4c???20?10(m)
3?????1?????2??rect?rect????? ?2????????????1(1)光场的复相干度为 r(?)??12??^0G(?)exp(j2???)d?
sinc(???)exp(j2??1?)[1?exp(j2????)]式中????2??1，复相干度的模为
r(?)?sinc(???)cos????
由于?????，故第一个因子是?的慢变化非周期函数，第二个因子是?的快变化周期函?c为相干时间，数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在?c?1??的地方，
c故相干长度lc?c?c?????2??lc??2??。
（2）可见到的条纹总数N???????58930.1?58930
（3）复相干度的模中第二个因子的变化周期??1??，故
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