U(x1,y1)?U0(x1,y1)?t(x1,y1)d??y??12??x1??x1?rect??rect?exp?j??rect????b?a??a?????x??y?0.75a?rect?1?rect?14a?a??d??y??12????rect?b???????y1?0.75a?rect???4a??? （2）
??x1exp?j??rect??????a由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样
U(x,y)，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标fx?x?z,fy?y?z），即
exp(jkz)expU(x,y)??k22?j(x?y)?2z????F?U(x0,y0)? （3）
j?z利用傅立叶变换的相移定理，得到
??x??y?0.75aF?U(x0,y0)??F?rect?0?rect?04a?a???????x0??y0?0.75a??exp?j??Frectrect??????????4a??a??????22????8asinc(afx)sinc(4afy)exp(?1.5j?fy)exp??j????8asinc(afx)sinc(4afy)exp(1.5j?fy)?8asinc(afx)sinc(4afy)??exp(?1.5j?fy?j?)?exp(1.5j?fy)?
2把它带入（3）式，则有
exp(jkz)expU(x,y)??k22?j(x?y)?2z???2?8asinc(afx)sinc(4afy)j?z??exp(?1.5j?fy?j?)?exp(1.5j?fy)?exp(jkz)exp??k22?j(x?y)?2z?ax4ay??2?8asinc()sinc()j?z?z?z?)??
?1.5j?y1.5j?yj?j??j????exp??exp(?)?exp(???2???z2?z2?exp(jkz)exp??k22?j(x?y)?2z?ax4ay??2?8asinc()sinc()j?z?z?z???1.5?y?j???exp??cos????2?2????z强度分布
16
?8a2???2?ax?2?4ay?2?1.5?yI(x,y)??sincsinccos?????????z?z?z?z2?????????8a2?2?ax?2?4ay?2?1.5?y???sincsincsin?????????z???z???z???z?22
2.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为t?x???step?x??。采
用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在x方向上的振幅分布曲线。
xOy
图 题2.6
???答：F?t?x?,y????F?step?x?????δ?fx??j?πfx??U?x,y???????x??δf?y??δ????λz??λz??y???δ?j?πx???λz?? ??k??????x?λz??y?exp?jkz?exp?j?x?y????δ?????δ?jλz2z?λzj?πxλz????????exp?jkz??xyδ?,j?λz?λzλz???exp???πx??x?jk?z???2z???????y?δ??????λz????
振幅分布曲线图从略。
2.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形状如
17
何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布g?x,y?是一个实函数，其傅里叶变换G?fx,fy?是厄米型函数，即： G?fx,fy??G?*??fx,?fy?
?因此I?fx,fy??G?fx,fy??G*??fx,?fy??I??fx,?fy?，所以夫琅和费衍射图样有一个对称中心。
（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y轴建立坐标系。有： g?x,y??g??x,y? 因此 G?fx,fy??G同时 G?fx,fy??G所以
G**??f??fx,fy? ,?fy?
**x?fx,?fy??G??fx,fy??G?fx,fy?G?fx,fy??G?fx,?fy?
可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，在每
一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。
证明：假设置于原点的一个孔径表示为t??x?,y??，N个处于代表孔位置的点上的点光源表示为?δ?x?xi,y?yi?，则衍射屏的透过率可表示为
N t?x?,y???t??x?,y????δ?x?xi,y?yi?，
N其傅里叶变换可表示为
F?t?x?,y????F?t??x?,y????F??δ?x?xi,y?yi??，
?N??? 18
该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数 t?r??????????r???cosar?circ?? ???a?（1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2）给出此屏的焦距表达式。
（3）什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：（1）解
衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式： ??11?22t(x,y)???cos[?(x?y)]?circ???22??22x?y?? ?l?22x?y?? （1） ?l??1?11?2222 ???exp[?j?(x?y)]?exp[j?(x?y)]??circ??4?24??（1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子exp??j??22?(x?y)?比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分2f?k别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似?与透镜，因子circ???22x?y??表明该屏具有半径为l的圆形孔径。 ?l?（2）解
把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于
14exp[?j?(x?y)]项，令??k2?22k2f1，则有
f1?????
1422焦距f1为正，其作用相当于会聚透镜，对于
exp[j?(x?y)]项，令???k2f2，则有
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f1??k2??????
12焦距f2为负，其作用相当于发散透镜，对于“幅衰减，可看作是 f3?? （3）解
”这一项来说，平行光波直接透过，仅振
由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长?成反比。例如取
。。?red?6900A，?blue?4000A，则有
fred?40006900fblue
fblu ?0.57e这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。
这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。
?2.10 用波长为??6328A的平面光波垂直照明半径为2mm的衍射孔，若观察范围是与衍
射孔共轴，半径为30mm的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答：由式(2.55)z??衍射分别要求 z????π?λ(L??L?)及式(2-57)z?????12k(x0?y0)有菲涅耳衍射和夫琅和费
22π?λ?(L??L?)即z????????π???.???????????????????????.?mm
z??k?x??y????π?.???????????????.?mm
2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在
轴上的强度分布。
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