第二章 习题解答
2.1 一列波长为?的单位振幅平面光波，波矢量k与x轴的夹角为450，与y轴夹角为
60，试写出其空间频率及z?z1平面上的复振幅表达式。
0答：fx?
??λ , fy?22? , U?x,y,z1??exp?jkz1?expj2π??32?x?y?U?0,0,0? ?2λ2λ???2.2 尺寸为a3b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面
上的透射光场的角谱。
?x??y??cosαcosβ,答：U?x,y??rect??rect?? ，A?λ?λ?a??b????absinc??cosα?aλ???sinc??cosβ??b? ，
λ??
2.3 波长为?的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的
?πx0??模板，其振幅透过率为t?x????.????cos，求紧靠孔径透射场的角谱。 ?λ???答:：
cosα?cosα???cosβ???cosαcosβ??cosαcosβ???A?,,?????λδ??λ????δ????.?δ????.???3λδ??λ?λ?λ?λλλ?λ?λ?????????cosαcosβ??.?δ?,λ?λ??cosα???cosα????cosβ????.?????δ?????δ???δ?λ?λλ?λ??????λ???
2.4 参看图2.13，边长为?a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落
在??,??点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出?????时，孔径频谱在x方向上的截面图。
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y0a2aO(?,?) x0
图2.4题
?x???y?答：t?x?,y???rect??rect???a???a?x??ξ??y??η???rect?? ??rect?aa?????y F?t?x?,y?????asinc?2af?x?sinc?2af??a?sinc?afx?sinc?afy?exp?-j2πa?fx?fy??
U?x,y??????asinc??k???exp?jkz?exp?j?x?y???jλz?2z?x??2a??sinc?λz?y???2a???asinc?λz??x??a?sinc?λz??y??a?exp?λz???-?y????xj2πa??????λzλz????
x?y??y?????x??y??xI?x,y??2??asinc?2a??sinc?2a??asinc?a?sinc?a?exp?-j2πa?λz?λz??λz??λz??λz??λzλz?????????
2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距为
d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍
射图样的强度分布。假定b??a及d??.?a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差?，上述结果有何变化？
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xadOby
图 题2.5 （1）
答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,率之和：
y0ax0?)rect(d2)?rect(y0)rect(bax0?bd2) （1）
d2)及(0,?d2)的矩形孔径振幅透射
t(x0,y0)?rect(由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
U0(x0,y0)?1 ，
透射光场
x0ay0?)rect(d2)?rect(x0)rect(bay0?bd2) （2）
U(x0,y0)?U0(x0,y0)?t(x0,y0)?rect(由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样
U(x,y)，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标fx?x?z,fy?y?z），即
exp(jkz)expU(x,y)??k22?j(x?y)?2z????F?U(x0,y0)? （3）
j?z利用傅立叶变换的相移定理，得到
d??y0???x02F?U(x0,y0)??F?rect()rect()??Fab????d??y0???x02)? ?rect()rect(ab?????absinc(afx)sinc(bfy)?[exp(?j?fyd)?exp(j?fyd)]
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?2absinc(?z把它带入（3）式，则有
exp(jkz)expU(x,y)?axby)sicn(??z)?dycos (?z)?k22?j(x?y)?2z?axby?dy???2absinc()sinc()?cos()
j?z?z?z?z强度分布
?2ab?2?ax?2?by?2??dy?I(x,y)??sincsinccos???????
?z?z?z?z????????2不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。
双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：
?x??yt(x0,y0)?rect?1?rect?1?a??bd?d????????x,y???x,y???00?? （4） ???002?2??????它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。代入所给条件b=4a,d=1.5a
?8a2I(x,y)????z?2?ax?2?4ay?2?1.5?ay?sincsinccos???????
??z???z???z??沿x轴，此时fy?0
I(fx,fy)?8asinc22?afx?
中心光强：I(0,0)=8a
2
极小值位置为：fx?na(n??1,?2,?)
x方向上强度分布的截面图示意如下：
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图 题2.5 （2）
沿y轴： 此时fx?0，故
I(fx,fy)?8asinc(4afy)cos222?1.5?af?
y中心光强：I(0,0)=8a2 极小值位置：fy?n4a及fy?1?2n3a(n??1,?2,?)
y方向上强度分布的截面图示意如下：
图 题2.5 （3）
d?x??y???t(x0,y0)?rect?0?rect?0?????x0,y0?2?a??b???d?x??y????rect?0?rect?0?????x0,y0?2?a??b???d????exp?j???x,y????00???2????d????exp?j???x,y????00???2????
d?d???y?y??12??12??x1??x1??rect??rect??exp??j???rect??rect??abab????????????由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
U0(x1,y1)?1 ，
透射光场,b=4a,d=1.5a时
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