第三章 习题解答
3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子
???kk22exp?j(x0?y0)??exp?j??2d0??2d0?xi2?yi2??M2????? ????试问
（1）物平面上半径多大时，相位因子
??k22exp?j(x0?y0)?
?2d0?相对于它在原点之值正好改变π弧度？
（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是
多少？
（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ和do之间存在什么关系
时可以弃去相位因子
??k22exp?j(x0?y0)?
?2d0?
解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为?的条件是
k2d0(x?y)?2020kr022d0??，r0??d0
（2）根据（3.1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图
?0,y?0) 样，其中心位于理想像点(xh(x0,y0;xi,yi)???2?22??P(x,y)exp?j[(x?x)?(y?y)]??dxdy i0i02???d0di???di??11? ?aJ1(2?a?)?1?r??Bcirc? ????22?d0dia?dd?????0i2式中r?x?y，而
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?????22?(?0xi?x?di)?(2?0yi?y?di) （1）
2在点扩散函数的第一个零点处，J1(2?a?)?0，此时应有2?a??3.83，即 ?0?0.61a （2）
将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点(xi?yi?0)，于是得 r0?
（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献h(x0,y0;0,0)。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r0?0.61?d0/a范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子
exp[jkr0/2d0]变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区
2域内相位变化不大于几分之一弧度（例如?/16）就满足以上要求，则kr0/2d0?20.61?d0a （3）
?16，
r0??d0/16，也即
2 a?2.44?d0 （4）
例如??600nm，d0?600nm，则光瞳半径a?1.46mm，显然这一条件是极易满足的。
3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为
t(x0,y0)?12?12cos2?f0x0
放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f，孔径为D。
（1）求物体透射光场的频谱；
（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；
(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？
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解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jkx0sin?)，为确定起见设??0，则物平面上的透射光场为
U0(x0,y0)?Aexp(jkx0sin?)t(x0,y0)
?A?sin??1sin???expj2?x?expj2?x(f??000???2???2???sin??1?)??exp??j2?x0(f0???2???)?? ??其频谱为 A(?,?)?F?U0(x0,y0)?
?sin???1???f??0????????2???sin????????f?0???? ??????? ?A??sin??1????????2????2由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿?轴整体平移了sin?/?距离。
（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率?c?D/4?f，于是要求
sin???D4?f，?D4?f??f0?sin???D4?f
由此得
?f0??角的最大值为
D4f?sin??D4f （1）
?max?arcsin??D?? （2） ?4f?此时像面上的复振幅分布和强度分布为
Ui(xi,yi)?A?D?1exp?j2?xi[1?exp(?j2?xif0)] ?24?f2??2A?5?Ii(xi,yi)??cos2?fx0?
4?4??
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（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得 ?f0?即
f0?D2?fD4f?D4f
或 f0max?D2?f （3）
??0时，系统的截止频率为?c?D/4?f，因此光栅的最大频率
f0max??c?D4?f （4）
比较（3）和（4）式可知，当采用???max倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。
3.3光学传递函数在fx= fy =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？
（1）在（3.4.5）式中，令 h(xi,yi)?h1(xi,yi)?
????h1(xi,yi)dxidyi为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5）式可写成
? H(?,?)?而
????h(xi,yi)exp[?j2?(?xi??yi)]dxidyi
? H(0,0)?1?????h(xi,yi)dxidyi
即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩散函数的意义
（2）不能大于1
（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是?函数，其频谱为常数1，即系统对任何频
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率的传递都是无损的。
3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi，yi）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。
解：由于hI(xi,yi)是实函数并且是中心对称的，即有hI(xi,yi)?*hI(xi,y，)ihI(xi,yi)?hI(?xi,?yi)，应用光学传递函数的定义式（3.4.5）易于证明H(?,??)H*?(?,，即H(?,?)为实函数。
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？
解：用公式（3.4.15）来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为2a/?di，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。
3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像 解：如图
d0di
t(x0,y0)(x,y) (xi,yi) 图 3.6题
设?1是透过率函数为t(x0,y0)的物平面，?2是与?1共轭的像平面，即有
1d0
?1di＝1f
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