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【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，?BAD?90°， 所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°, 所以∠CBD＝70°+45°＝115°．
(2)AB＝AC,?BAD??CAE?90°,AD＝AE, 所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE． 2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ，
当??90°时，
BP的值是 ； BQBP的值； BQ②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，
1使BP?BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求
y B? B A? P C Q B C P x y y A? ? Q） B（B C C? O x A
O A （图2） （图3）
C? x A O （备用图） 【关键词】勾股定理 【答案】解：（1）矩形（长方形）；
BP4?． BQ7（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?． CPOCCP6???， ，即
???ABOA6897?CP?，BP?BC?CP?．
22同理△B?CQ∽△B?C?O，
CQ10?6CQB?C???，即， 68C?QB?C??CQ?3，BQ?BC?CQ?11．
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BP7． ?BQ22②在△OCP和△B?A?P中， ??OPC??B?PA?，? ??OCP??A??90°，?OC?B?A?，??△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P． 设B?P?x， ?在Rt△OCP中， (8?x)2?62?x2，解得x?25． 412575?S△OPB????6?．
2441BQ． 23?7???点P的坐标是P，?9?6，6P6?． 2??，1??2?4???（3）存在这样的点P和点Q，使BP?对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．
过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，
?S△POQ?11PQ?OC，S△POQ?OP?QH， 22?PQ?OP． 设BP?x，
1?BP?BQ，
2?BQ?2x，
①如图1，当点P在点B左侧时， OP?PQ?BQ?BP?3x，
在Rt△PCO中，(8?x)?6?(3x)，
y B? P B Q C H O B 222y B? A? P H O C Q A? A
解得x1?1?
C? A C? x x 336，x2?1?6（不符实际，舍去）． 22- 17 -
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?PC?BC?BP?9?36， 23???P?9?6，61??．
2??②如图2，当点P在点B右侧时，
?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x． 在Rt△PCO中，(8?x)2?62?x2，解得x?25． 4?PC?BC?BP?8?257?， 44?7??P2??，6?．
?4?13?7??6，6?，P2??，6?，使BP?BQ．
22?4??3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD?BC于点D，以AD为一边
综上可知，存在点P1??9???向右作正三角形ADE。 （1）求?ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】
解：（1）在正△ABC中，AD?4?3?23， 211BC?AD??4?23?43． 22（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．
在△CDF中，??CDE?90°??ADE?30°，
??CFD?180°??C??CDE?180°?60°?30°?90°， ?AC⊥DE． ?S?4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB?50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方
P到A、B的距离之和S1?PA?PB，案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A?，连接BA?交直线X于点
P），P到A、B的距离之和S2?PA?PB． （1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2?PA?PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角
坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，
使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
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Y B A P 图（1）
【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】 解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40
∴ BP＝CP2?BC2?402
S1＝402?10 ⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50， 又BC＝40
∴BA'＝402?502?1041 由轴对称知：PA＝PA'
∴S2＝BA'＝1041 ∴S1﹥S2 (2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'， 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, A'B'＝1002?502?505 ∴所求四边形的周长为50?505
X P 图（2） B A B Q A X O P 图（3）
X
A? YBB'QPAX
5．（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在
y轴上，且OB＝4．
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A'-
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；
（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．
图14
【关键词】平面直角坐标系；旋转 【答案】本小题满分8分 解：（1）画图正确（如图）；
（2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：
90π?42?4π． 360
6．（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
【关键词】等腰三角形的性质与判定 【答案】OE⊥AB． 证明：在△BAC和△ABD中，
AC＝BD， ∠BAC＝∠ABD， AB＝BA．
∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA＝∠OAB,
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