-
∴OA＝OB． 又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．
7．（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，
E是AB的中点，CE⊥BD。 （1） 求证：BE＝AD；
（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
（4）
【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形 【答案】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1＝∠2
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC ∴△BAD≌△CBE ∴AD＝BE
（2）∵E是AB中点， ∴EB＝EA
由（1）AD＝BE得：AE＝AD ∵AD∥BC
∴∠7＝∠ACB＝45° ∵∠6＝45° ∴∠6＝∠7
由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。 即，AC是线段ED的垂直平分线。
（3）△DBC是等腰三角（CD＝BD） 理由如下：
由（2）得：CD＝CE 由（1）得：CE＝BD ∴CD＝BD
∴△DBC是等腰三角形。 8．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，
- 21 -
-
斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．
c
c
b b
a c
b
a
c
c
b
c
a
a
【关键词】勾股定理的验证 【答案】方法一解：（1）如图
a
c c
c
a
b
a
b
c
b
c b
a
（2）证明：?大正方形的面积表示为(a?b),大正方形的面积也可表示为
2b
a
11c2?4?ab,?(a?b)2?c2?4?ab，a2?b2?2ab?c2?2ab，
22?a2?b2?c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二解：（1）如图
（2）证明：?大正方形的面积表示为：c， 又可以表示为：
21ab?4?(b?a)2, 21ab?4?(b?a)2，c2?2ab?b2?2ab?a2， 22?c?a2?b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ?c2?
- 22 -
-
9．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【关键词】勾股定理的应用
，AC?8，BC?6 【答案】在Rt△ABC中，?ACB?90°由勾股定理有：AB?10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB?AD?10时，可求CD?CB?6,得△ABD的周长为32m．②如图2，当AB?BD?10时，可求CD?4,由勾股定理得：AD?45,得△ABD的周长为20?45m．③如图3，当AB为底时，设AD?BD?x，则CD?x?6，由勾股定理得：x?A
??2580
m．,得△ABD的周长为
33
A
A
D
C 图1
B D
C
B D
C
B 图3 图2
10．（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，
D为AB边上一点，求证： （1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE．
222
【关键词】全等三角形的判定、勾股定理 【答案】27．证明:（1） ∵ ?ACB??ECD，
∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE． 即 ?BCD??ACE ∵ BC?AC,DC?EC， ∴ △ACE≌△BCD （2）∵ ?ACB是等腰直角三角形， ∴ ?B??BAC?45?． ∵ △ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?．
∴ AD?AE?DE．
- 23 -
222
-
由（1）知AE＝DB，
11．（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和
外角的平分线，BE⊥AE． （1）求证：DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形
B D C
【答案】解：（1）证明： 1?AD平分?BAC??BAD＝?BAC?2?1AE平分?BAF??BAE＝?BAF??2? ? ?BAC??BAF?180???11??BAD??BAE＝(?BAC??BAF)??180??90?
22??DAE?90??DA?AE（2）AB＝DE，理由是：
?AB?AC??AD?BC??ADB?90???AD平分?BAC?? ? ??四边形AEBD是矩形?AB?DE BE?AE??AEB?90??? ?DAE?90???E
A F
12．（山东省临沂市） 如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上． （1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
? - 24 -
-
北
东
D
C l
A B
解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．
?AO?2，BO?22．
． ?A，B两村的距离为AB?AO?BO?2?22?32（km）
方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2．
在Rt△AEB中，由?A?45°，可得BE?EA?3．
?AB?32?32?32（km） ?A，B两村的距离为32km． A C O P N D l
M
（2）作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点A，B为圆心，以大于
B
1AB的长为 2半径作弧，两弧交于两点M，N， 作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC上(公
路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最
高行驶速度不能超过60千米／时 (即
503米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图8所示的直角坐标系
- 25 -