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?AC?B?C，?ACB?＝60°，
??PCA??ACE??ACE??ECB?＝60°， ??PCA??ECB?′， ?△ACP≌△B?CE． ??APC??B?CE?120°，PA?EB?， ??APB??APC??BPC?120°， ?P为△ABC的费马点，
?BB?过△ABC的费马点P，且BB?＝EB?+PB?PE?PA?PB?PC．
21．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，
以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’ (1)当BD＝3时，求线段DE的长；
(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等
腰三角形．
【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5， ∵DB为直径，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B ，∴△DBE∽△ABC
DEBD? ACAB9∴DE＝。
5∴
即
DE3? 35（2）解法一：连结OE，
∵EF为半圆O的切线， ∴∠DEO+∠DEF＝90°， ∵∠AEF+∠DEF＝90°， ∴∠AEF＝∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A＝∠EDB，
又∵∠EDO＝∠DEO， ∴∠AEF＝∠A，
∴△FAE是等腰三角形。 解法二：连结OE，
∵EF为半圆O的切线， ∴∠AEF+∠OEB＝90°， ∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
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-
∵OE＝OB
∴∠OEB＝∠B， ∴∠AEF＝∠A
∴△FAE是等腰三角形。 22．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上． （1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
北
东
D C l ?A B
【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图
【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．
?AO?2，BO?22．
． ?A，B两村的距离为AB?AO?BO?2?22?32（km）
方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2．
在Rt△AEB中，由?A?45°，可得BE?EA?3．
?AB?32?32?32（km） ?A，B两村的距离为32km．
（2）作图正确，痕迹清晰．
A C O P N D
l
M
作法：①分别以点A，B为圆心，以大于
B
1AB的长为 2- 37 -
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半径作弧，两弧交于两点M，N， 作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求． 1．（2009年中山）如图所示，△ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E，使CE?CD， （1）用尺规作图的方法，过D点作DM?BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM?EM．
【关键词】等腰三角形，等边三角形 【答案】解：（1）作图见下图，
A D M B C E
（2）?△ABC是等边三角形，D是AC的中点， ?BD平分?ABC（三线合一）， ??ABC?2?DBE． ?CE?CD，
??CED??CDE．
又??ACB??CED??CDE， ??ACB?2?E． 又??ABC??ACB， ?2?DBC?2?E， ??DBC??E， ?BD?DE． 又?DM?BE， ?BM?EM． 23．（2009年牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在
要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【关键词】等腰三角形，勾股定理
，AC?8，BC?6 【答案】在Rt△ABC中，?ACB?90°
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由勾股定理有：AB?10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况．
①如图1，当AB?AD?10时，可求CD?CB?6 得△ABD的周长为32m．
②如图2，当AB?BD?10时，可求CD?4
由勾股定理得：AD?45，得△ABD的周长为20?45m． ③如图3，当AB为底时，设AD?BD?x，则CD?x?6， 由勾股定理得：x?A
??2580
m．，得△ABD的周长为
33
A
A
D
C 图1
B D C 图2
B D
C 图3
B
24．(2009年宁德市)（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
2
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分） C1 y N A O P 图2 图（2）B Q E F x C1 y M A O P B x C4 C2 C3 图1 图（1） - 39 -
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【关键词】二次函数,勾股定理的运用
C1 A y H O P 图(1) 2M B G x C2 C3
解：（1）由抛物线C1：y?a?x?2??5得
顶点P的为（-2，-5） ∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0?a?1?2?2?5
5
解得，a＝
9
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为y??5?x?4?2?5 9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5） y C1 N A H B Q G E O P 图(2) K F x C4
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
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