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A D G B
F H M C
O E 在Rt△OFH中，OF?OH·sin?OHF?OH·sin60??在Rt△HMC中，HM?HC·sinC?HC·sin60??3OH 23HC 2333?OD?OE?OF?OD?HM?OF?OG?HC?OH
222333 ??GH?HC??AC?a
222M A D F?
F O E E?
D? B
G
C N
（2）②:结论2成立．
、BC、CA证明：方法一：如图４，过顶点A、B、C依次作边AB的垂线围成
△MNG，由（1）得△MNG为等边三角形且MN?3a
过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?，OF??MG于点F?
由结论1得：
?33MN??3a?a ?22又?OD?AB，AB?MG，OF??MG ??ADO??DAF???OF?A?90? ?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD
同理：OD??BE，OE??CF
3?AD?BE?CF?OD??OE??OF??a
2OD??OE??OF??方法二：（同结论1方法二的辅助线）
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A D G B
F H
O E M C （图3）
在Rt△OFH中，FH?OF3?OF
tan?OHF3HM23?OE sinC3233?CF?HC?FH?OE?OF
33233233同理：AD?OF?OD，BE?OD?OE
3333?AD?BE?CF 233233233＝OF?OD?OD?OE?OE?OF
333333＝3?OD?OE?OF?
在Rt△HMC中，HC?由结论1得：OD?OE?OF?3a 2A D
O B E （图5）
C F
33a?a 22方法三：如图5，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得： BE2?OE2?OB2?BD2?OD2① CF2?OF2?OC2?CE2?OE2② AD2?OD2?AO2?AF2?OF2③ ①+②+③得：
BE2?CF2?AD2?BD2?CE2?AF2
222?BE2?CF2?AD2??a?AD???a?BE???a?CF? ?AD?BE?CF?3??a2?2AD?a?AD2?a2?2BE?a?BE2?a2?2CF?a?CF2
2整理得：2a?AD?BE?CF??3a
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?AD?BE?CF?3a 212分
20．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；
（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．
C E A
P
B
【关键词】圆的性质，三角形相似的性质
【答案】解：?AB是半圆的直径，点C在半圆上， ??ACB?90°．
在Rt△ABC中，AC?AB2?BC2?102?62?8 （2）?PE⊥AB，
??APE?90°．??ACB?90°， ??APE??ACB． 又??PAE??CAB， ?△AEP∽△ABC，
PEAP? BCAC110?PE2 ??683015?PE??．
84?
19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y＝?2x?8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P?0，k?是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）连结PA，若PA?PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
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l A y O P B l x A y O x （备用图）
【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】
l A y O P B P2 第（1）题
解：（1）⊙P与x轴相切．
第（2）题 l x A C E y O P1 D B x
直线y??2x?8与x轴交于A??4，0?，与y轴交于B?0，-8?，
?OA?4，OB?8，
?PB?PA?8?k． 由题意，OP??k，22?k??3， 在Rt△AOP中，k?4??8?k?，2?OP等于⊙P的半径，?⊙P与x轴相切．
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD． 当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E．
1333?△PCD为正三角形，?DE?CD?，PD?3，?PE?．
222??AOB??PEB?90°，?ABO??PBE，△?AOB∽△PEB，
33AOPE4315??，?2，?PB?即， ABPBPB245 - 34 -
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?PO?BO?BP?8??315?315，?P?0，?8， ???22???k?315?8． 2????315?8?， ?2?当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P?0，-315?8， 2315315?8或k???8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶? 当k?22?k??点的三角形是正三角形．
20．(2009年湖州)若P为△ABC所在平面上一点，且?APB??BPC??CPA?120°，
则点P叫做△ABC的费马点．
，PA?3，PC?4，则PB的（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且?ABC?60°值为________；
（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．
求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA?PB?PC．
A B?
【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题 【答案】（1）23． （2）
A
E P B
C
B
C B?
证明：在BB?上取点P，使?BPC?120°，
连结AP，再在PB?上截取PE?PC，连结CE． ??BPC?120°， ??EPC?60°，
?△PCE为正三角形， ?PC?CE，?PCE?60°，?CEB?＝120°， ?△ACB?为正三角形，
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