E??0?
32808040101?1??2??3??4??5?243243243243243243 4055??.2433
解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故??B(5,),即
1312P(??k)?C54()k()5?k, k?0,1,2,3,4,5.
33由此计算ξ的分布列如解法一.
（Ⅱ）E??5?15?. 33 解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二
（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.
即3E??5, 从而E??5. 3（19）（本小题13分） 解法一：
（Ⅰ）证：由已知DF//AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CD⊥BF.
?
又PA⊥底面ABCD, CD⊥AD, 故由三垂线定理知CD⊥PD. 在△PDC中, E、F分 别为PC、CD的中点，故EF//PD，从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF.
（Ⅱ）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接
EG，则在△PAC中易知EG//PA，又因 PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD. 在底 面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连接 EH，由三垂线定理知EH⊥BD. 从而∠EHG为 二面角E—BD—C的平面角. 设AB=A，则在△PAC中，有
BG?
11PA?ka 22以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD，
11BD?GH?GB?DF 22GB?DF. 故GH?BD因S?GBD?在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得BD?5a.
而GB?11FB?AD?a,DF?AB，从而得 22 GH?GB?ABa?a5??a BD55a
1kaEG25因此tanEHG???k.
GH25a5由k>0知∠EHG是锐角，故要使∠EHG>30°，必须
53k?tan30??, 23解之得，k的取值范围为k?
215. 15 解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点, AB所在直线为x轴, AD所在直线为y轴, AP所在直线为z轴建立
从而DC?(2a,0,0), BF?(0,2a,0)，
空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为 A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0）， D（0，2a，0），F（a，2a，0）
DC?BF?0, 故DC?BF.
设PA=B，则P（0，0，b），而E为PC中点，故
bbE(a,a,). 从而BE?(0,a,).
22
DC?BE?0, 故DC?BE.
由此得CD⊥面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G, 过G作为GH⊥BD垂足为H, 由三垂线定理知EH⊥BD.
从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角. 由PA?k?AB得P(0,0,ka), E(a,a,ka), G(a,a,0). 2设H(x,y,0)，则CH?(x?a,y?a,0),BD?(?a,2a,0)， 由GH?BD?0得?a(x?a)?2a(y?a)?0，即
x?2y??a ①
又因BH?(x?a,y,0)，且BH与BD的方向相同，故
x?ay，即 ?a2a2x?y?2a ②
由①②解得x?
34215a, y?a. 从而CH?(?a, ?a, 0),|GH|?a. 55555
ka|EG|5tanEHG??2?k.
25|GH|a5由k>0知∠EHG是锐角，由∠EHG>30°，得tanEHG?tan30?，即5k?3.
23故k的取值范围为k?
215. 15（20）（本小题13分）
解：（Ⅰ）求导得f?(x)?[x2?(b?2)x?b?c]c2
因b2?4(c?1), 故方程f?(x)?0即x2?(b?2)x?b?c?0有两根；
b2?4(c?1)b2?4(c?1)b?2b?2 x1????x2???2222令f?(x)?0, 解得x?x1或x?x2； 又令f?(x)?0, 解得x1?x?x2，
故当x?(??,x1)时, f(x)是增函数；当x?(x2,??)时, f(x)是增函数；但 当x?(x1,x2)时, f(x)是减函数.
（Ⅱ）易知f(0)?c, f?(0)?b?c，因此 limn?0f(x)?cf(x)?f(0)?lim?f?(0)?b?c. n?0xx 所以，由已知条件得
?b?c?4, ?2
?b?4(c?1),
因此b2?4b?12?0. 解得?6?b?2.
（21）（本小题12分）
解：（Ⅰ）因为对任意x?R, 有f(f(x)?x2?x)?f(x)?x2?x，所以 f(f(2)?22?2)?f(2)?22?2.
又由f(2)?3，得f(3?22?2)?3?22?2, 即f(1)?1. 若f(0)?a, 即f(a?02?0)?a?02?0, 即f(a)?a.
（Ⅱ）因为对任意x?R, 有f(f(x)?x2?x)?f(x)?x2?x，
又因为有且只有一个实数x0, 使得f(x0)?x0, 所以对任意x?R, 有f(x)?x2?x?x0,， 在上式中令x?x0, 有f(x0)?x0?x0?x0,
又因为f(x0)?x0, 所以x0?x0?0, 故x0?0或x0?1. 若x0?0, 则 f(x)?x2?x?0，即
22f(x)?x2?x.
但方程x2?x?x0有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x0?0.
若x0=1, 则有f(x)?x2?x?1. 即f(x)?x2?x?1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为
f(x)?x2?x?1
（22）（本小题12分）
证：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有
(x?R)
2dn?|PnFn|?|PnCn|?2, 故dn?1.
设cn?1?bn，则右准线方程为
2ln:x?1. cn
因此，由题意dn应满足
11?1?dn??1. cncn?1?1?11即?c, 解之得?cn?1. ?n2?0?c?1n?即
12?1?bn?1, 2
从而对任意n?1, bn?3. 2 （Ⅱ）设点Pn的坐标为(xn,yn), 则由dn?1及椭圆方程易知 xn?1?1,
cn2222yn?bn(1?xn)?(1?cn)(1?(
1?1)2)cn?
1cn2
(?2cn?cn?2cn?1).32因|PnCn|?2cn, 故?PnFnCn的面积为Sn?cn|yn|，从而
1232Sn??2cn?cn?2cn?1 (?cn?1)
2令f(c)??2c3?c2?2c?1，由
f?(c)??6c2?2c?2?0
得两根
11?31?13)内是增函数，而在 . 从而易知函数f(c)在(, 226
1?13()内是减函数.
6
现在由题设取bn?2n?3n?112, 则cn?1?bn??1?, cn是增数列，又易知
n?2n?2n?231?134???c3， 465 c2?
故由前已证，知S1 2007