量子力学习题及解答
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即
； ?m T=b（常量）
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
e?1以及 ?v?c， （2）
?vdv???vd?， （3）
有
8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）
dvd??c?d????????v(?)d?
?v(?)??c??????8?hc?5??1ehc?kT,?11
这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：
?hc1?'???6?hc?5??hc???kT??e?kT?1?1?e?kThc1??0 ? ?5?hc??kT1?e?kThc?hc ? 5(1?e?kT)??kThc如果令x= ，则上述方程为
?kT5(1?e?x)?x
8?hc1???0 ???这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
?mT?把x以及三个物理常量代入到上式便知
hc xk?mT?2.9?10?3m?K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv，
?如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动???ec2），那么
p2 E?2?e如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?10eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
6P?h
??
h p
2
???h2?eEhc2?ec2E1.24?10?662?0.51?10?3?0.71?10?9m?0.71nm在这里，利用了
m
hc?1.24?10?6eV?m
以及
?ec2?0.51?106eV
最后，对
??hc2?ecE2
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是E?长。
解 根据
3kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波21k?K?10?3eV，
知本题的氦原子的动能为
E?显然远远小于?核c2这样，便有
33kT?k?K?1.5?10?3eV, 22???hc2?核cE2
1.24?10?69?32?3.7?10?1.5?10?0.37?10?9m?0.37nm这里，利用了
m
?核c2?4?931?106eV?3.7?109eV
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
??hc2?cE2?hc2?kcT2
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明
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显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB?9?10?24J?T?1，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
?pdq?nh
其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有
p212E??kx
2?2这样，便有
p??2?(E?12kx) 2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
E?可解出 x???12kx 22E k这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
??
x?x?x?112?(E?kx2)dx??(?)2?(E?kx2)dx?nh
x?22?x?x?为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
?
x?112?(E?kx2)dx??2?(E?kx2)dx?nh
x?22x?12n2?(E?kx)dx?h?x?22
x?这样，便有
?2Esin? k??2?2?2E?n??h 2?Ecos2?d?sin??k?2????
??2?2?Ecos???22Encos?d??hk2cos2?d??nh2
这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分
?
??2?2E??k2
4
?B??2?2E??2?ksin2?d?
这样，便有
?A?B??2?2E??2?kd??2E??cos2?d??k, （1）
?A?B??2?2E??2?k???2?E?2?kcos2?d(2?)
???2?E?2?k?cos?d?,这里? =2θ，这样，就有
A?B??E???kdsin??0 （2）
根据式（1）和（2），便有
A?E?这样，便有
?k
E??k?nh 2? E?nh?
2?k??nh,k
其中h?h 2?最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
R? p????qBR
??2?q?B
?p2又因为动能耐E?，所以，有
2?2?0qBRd(R?)?nh
? qBR2?2??nh ? qBR2?nh
(qBR)2q2B2R2 E??2?2?
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