?m?1im2?e? 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
H??12IL?2 H?与t无关，属定态问题，其本征方程为 12IL?2Y(?,?)?EY(?,?) (式中Y(?,?)设为H?的本征函数，E为其本征值) L?2Y(?,?)?2IEY(?,?) 令 2IE???2，则有
L?2Y(?,?)???2Y(?,?) 此即为角动量L?2的本征方程，其本征值为 L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?) 其波函数为球谐函数Ym?m(?,?)?N?mP?(cos?)eim? ∴ 转子的定态能量为
E?(??1)?2??2I 可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。 #
3.6 设t=0时，粒子的状态为
?(x)?A[sin2kx?12coskx] 求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：?(x)?A[sin2kx?1kx]?A[112cos2(1?cos2kx)?2coskx] ?A2[1?cos2kx?coskx] ?A2[1?12(ei2kx?e?i2kx)?12(eikx?e?ikx)] ?A2??2[ei0x?1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx12e?2e?2e?2e]?2?? 可见，动量pn的可能值为0 2k? ?2k? k? ?k? 动能p22n2k?22k2?2k2?2k2?2 2?的可能值为0 ? ? 2? 2? 对应的几率?A2A2A2n应为 (4 16 16 A216 A216)?2??
(12 18 1118 8 8)?A2?? 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
26
A2A2A2 1???n?(?4?)?2????2??
4162n ∴ A?1/??
∴ 动量p的平均值为
p??pn?n
nA2A2A2A2?0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???0
16161616 T?p22 2???pn?n
n2? ?0?2k2?21k2 ?21??8?2?2??8?2
?5k2?28?
# 3.7 一维运动粒子的状态是
?Axe??x ?(x)??, 当x?0? 0, 当x?0
其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由 1???2?2???(x)dx??Ax2e?2?x0dx
?14?3A2
∴A?2?3/2
?(x)?2?3/2xe?2?x (x?0)
?(x)?0 (x?0)
c(p)???1e?ikx?(x)dx?(1)1/2?2?3/2??xe?(??ik)x??2??2?????(x)dx
?(2?32??)1/2[?x??ike?(??ik)x?1?0???ik???e?(??ik)xdx 2?33 ?(12??)/2x(??ik)2??(2?2??)1/21(??ip ?)2 动量几率分布函数为
?(p)?c(p)2?2?31?3?31??p2?2(?2?2?(?2?2?p2)2 ?2) (2) p???????*(x)?p?(x)dx??i????4?3xe??xddx(e??x)dx 27
? ??i?4?? ??i?4?? ??i?4??(33???x(1??x)e?2?xdx
3????(x??x2)e?2?xdx
?14?214?2)
?0 #
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
?2n?sinx, 0?x?a? ?(x)?a a? 0, x?0, x?a?n2?2?2 2， 3， ?) En? (n?1，2?a2 动量的几率分布函数为?(E)?Cn Cn??2?????(x)?(x)dx??sin0*an?x?(x)dx a2 先把?(x)归一化，由归一化条件， 1?????(x)dx??Ax(a?x)dx?A02a22?a0x2(a2?2ax?x2)dx
?A22?a5aa5a52a??)?A ?A( 3253030 ∴A?
a5a230n? ∴ Cn???sinx?x(a?x)dx
0aaa505(a2x2?2ax3?x4)dx
aa215n?n?2 ?[axsinxdx?xsinxdx] ?0?0aaa3215a2n?a3n?a2n??[?xcosx?sinx?xcosx322n?aan?aan?
? ?2an?2an?xsinx?cosx]aan2?2n3?3023a
415n[1?(?1)] 33n?2402n2 ∴ ?(E)?Cn?66[1?(?1)]
n? 28
?960，n?1， 3， 5， ?? ??n6?6
?0，n?2, 4, 6, ?? 2?a?p??(x)dx??(x)?(x)dx E???(x)H?0??2?a30?2d2 ??5x(x?a)?[?x(x?a)]dx 20a2?dx30?2a30?2a3a3 ?x(x?a)dx?(?) 5?0523?a?a5?2
?
?a2
3.9.设氢原子处于状态
?(r,?,?)?1R21(r)Y10(?,?)?23R21(r)Y1?1(?,?) 2求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值
E2???es22?2n2???es28?2 (n?2) (??1)
角动量平方有确定值为
L2??(??1)?2?2?2 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2??? 其相应的几率分别为 其平均值为
LZ?133?0?????? 444
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
14，
34
?a;??, r U(r)??
0, r ? a?求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
??0 (r?a)
由于在r?a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向
29
发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与?、?无关。设为?(r)，则粒子的能量的本征方程为
??21d2d?2?rdr(rdr)?E?
令 U(r)?rE?, k 2 ?2?E?2，得
d2udr2?k2u?0 其通解为
u(r)?Acoskr?Bsinkr ???(r)?AB rcoskr?rsinkr波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则
A = 0 ∴ ?(r)?Brsinkr 由波函数的连续性条件，有
?(a)?0 ? Basinka?0 ∵B?0 ∴ka?n? (n?1,2,?) k?n? a ∴ En2?22?n?2?a2
?(r)?Bn?rsinar 其中B为归一化，由归一化条件得
1??????
?0d??0d?a0?(r)2r2sin? dr?4???a
B2sin2n?0ardr?2? aB2 ∴ B?12? a ∴ 归一化的波函数 sinn? ?(r)?1ar2? ar
3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2?? 解： p?0
p2?2? T?5224k? x?????A2x[sin2kx?12coskx]2dx?0
# 30