qBn?q??nB?2?2? ?nBNB,?其中，MB?q?是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 2??E?BMB
?E?10?9?10?24J?9?10?23J
具体到本题，有 根据动能与温度的关系式
E?以及
3kT 21k?K?10?3eV?1.6?10?22J
可知，当温度T=4K时，
E?1.5?4?1.6?10?22J?9.6?10?22J
当温度T=100K时，
E?1.5?100?1.6?10?22J?2.4?10?20J
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有
E?hv??ec2
此外，还有
E?pc?于是，有
hc?
hc??
??ec2??hc?ec2
1.24?10?6?m60.51?10?2.4?10?12m ?2.4?10?3nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
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第二章波 函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 ?(?
r，t)??(?r)f(t)i ??(?r)e??Et ?J?i?(???*??*2m??)
?i???ii?Et???Et*?iEt??iEtm[?(r)e?（?(r)e）??*(?r)e??（?(r)e?2）] ?i?2m[?(?r)??*(?r)??*(?r)??(?r)] 可见J?与t无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： (1)?1?1reikr (2)?12?re?ikr 从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：J??1和J2只有r分量
在球坐标中 ???r?0?r??e1??1??r???e?rsin??? (1) J?i?**1?2m(?1??1??1??1) ?i?2m[1reikr??r(1?ikr1?ikr?1ikr?re)?re?r(re)]r0 ?i?1111 2m[r(?11?r2?ikr)?r(?r2?ikr)]r0 ??k??k?2r0?3r J??mrmr1与r同向。表示向外传播的球面波。
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(2) ?Ji?**2?2m(?2??2??2??) ?i?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr2m[re?r(re)?re?r(re)]?r0 ?i?111111?2m[r(?
r2?ikr)?r(?r2?ikr)]r0 ???k??k?2r0??3r 可见，J??mrmr2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
???*?dx???dx??
? ∴波函数不能按??(x)2dx?1方式归一化。
? 其相对位置几率分布函数为 ???2?1表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
? U(x)???，x?0?0， 0?x?a ???，x?a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程
??2d22mdx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 在各区域的具体形式为
Ⅰ：x?0 ?2d2 ?2mdx2?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ① Ⅱ： 0?x?a ??2d22mdx2?2(x)?E?2(x) ② Ⅲ：x?a ??2d2 2mdx2?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须
?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d2?2(x)dx2?2mE?2?2(x)?0
令k2?2mE?2，得
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d2?2(x)2?k?2(x)?0 2dx 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤
?2(a)??3(a) ⑥
⑤ ?B?0
?Asinka?0 ⑥
?A?0?sinka?0 ?ka?n? (n?1, 2, 3,?) ∴?n?2(x)?Asinax 由归一化条件 ??(x)2dx?1
?得 A2?asin2n?0axdx?1 由
?absinm?ax?sinn?aaxdx?2?mn ?A?2
a??2n?
2(x)?asinax ?k2?2mE?2
?E?2?2n?2ma2n2 ( n ? 1,2,3,?)可见E是量子化的。 对应于En的归一化的定态波函数为
? ??2isinn?xe??Ent, 0?x?an(x,t)??a ?a? 0, x?a, x?a #
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??1a
?证
??A?sinn?：
(x?an??a), ?? 0, （2.6-14）
由归一化，得
x?a x?a9
1???ndx??A?2sin2??a2an?(x?a)dxa?A?2?1n?[1?cos(x?a)]dx?a2aaaA?2A?2 ?x?2?a2?a?acosn?(x?a)dxaa
A?2an?2?A?a??sin(x?a)2n?a?a?A?2a ∴归一化常数A??1a #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
??? 解：?(x)??2?xe22?2122x
?1(x)??1(x)?4?2?
??x2e??2?22x ?2?3
??x2e??22x22d?1(x)2?3 ?[2x?2?2x3]e??x
dx?d?1(x) ?0，得 令
dx1x?? x??? x?0 ? x???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，d2?1(x)2?322223??2x2而 ?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2?
3224??[(1?5?2x2?2?4x4)]e??x?d2?1(x)4?31 ??2?0 2dx1?ex??2 可见x??1??????是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
?2d2 ??(x)?U(x)?(x)?E?(x) ① 22?dx
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