Ⅳ：??22???4??0?E?4 (b?x) 对于区域Ⅰ，U(x)??，粒子不可能到达此区域，故 ?1(x)?0
而 . ??2? (U0?E)2???2?2?0 ① ??3??2? (U1?E)?2?3?0 ② ??4??2?E?2?4?0 ③ 对于束缚态来说，有?U?E?0
∴ ??2??k2 k22? (U0?E)1?2?0 1??2 ④ ?? k22? (3??k2?U1?E)33?0 3??2 ⑤ ??4??k2? k244?0 4??2?E/?2
⑥
各方程的解分别为
?2?Aek1x?Be?k1x ?3?Csink2x?Dcosk2x
?4?Ee?k3x?Fe?k3x 由波函数的有限性，得 ?4(?)有限， ? E?0 ∴ ??kx4?Fe3 由波函数及其一阶导数的连续，得 ?1(0)??2(0) ?B??A
∴ ?2?A(ek3x?e?k3x)
?)??kx?kx2(a3(a)?A(e3?e3)?Csink2a?Dcoks2a ??(a)??3?(a)?Akk31(e3a?e?k3a)?Ck2cosk2a?Dk2sink2a ⑧ ?Csink?k3(b)??4(b)?2b?Dcosk2b?Fe3b ⑨
??3(b)???k4?(b)?Ck2sink2b?Dk2cosk2b??Fk3e3b 由⑦、⑧，得k1ek1a?e?k1aCcosk2a?Dcosk2akk?e?k (11) 1a1a?2eCsink2a?Dcosk2a由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C?(k2sink2b)D?(?k3sink2b)C?(k3cosk2b)D (k2kcoskk2b?sink2b)C?(?2cosk2b?sink2b)D?0 (12)
3k3 令??ek1a?e?k1ak1ek1a?e?k1a?k，则①式变为 2 (?sink2a?cosk2a)C?(?cosk2a?sink2a)D?0
联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须
⑦
⑩
16
(k2kcoks?sinkk22b2b)(?sink2b?coks2b)3k?0 (?sink32a?coks2a)(?coks2a?sink2a)即 (?coska?sinkk22a)(2kcosk2b?sink2b)?(?sink2a?cosk2a)?3 ?(?k2ksink2b?cosk2b)?03 ?k2kcoskkk2bcos2a?2sink2bsink2a??sink2bcosk2a?3k3 ?sink2bsink22a??kksinkkk2bsin2a?2sink2bcosk2a)?
3k3 ??cosk2bsink2a?cosk2bcosk2a?0 sinkk22(b?a)(??k)?coskk2(b?a)((?2k?1)?033 tgk(1?k22(b?a)?k?)(k2??)3k3 把?代入即得
1?kk2ek1a?e?k1ak2k1e1a tgk?e?k1a 2(b?a)?(kek1a?e?k1a)(k?1a?e?k1a)
33k2ek 此即为所要求的束缚态能级所
满
足
的
方
程
#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
(ek1a?e?k1a)?sink2a?cosk2a0(ek1a?e?k1a)k2?k2cosk2ak2sink2a00sink?02bcosk2b?e?k3a0k2cosk2b?k?k2sink2bk3e3a?k2cosk2ak2sink2a00?(ek1a?e?k1a)sink2bcosk2b?e?k3a?k2cosk2b?k2sink2bk?ka3e3?sink2a?cosk2a0 ?ka1(ek1?e?k1a)?sink2bcosk2b?e?k3akk2cosk2b?k2sink2bk3e?3a ?(ek1a?e?k1a（)?k2?k2k3e?k3acosk2acosk2b?k2e3asink2a
coskkb?k2?k2b?k2k3e?3asink2asink22e3acosk2asink2b） ?kkk1(e1b?e?k1b（)kk2k3e?3bsink2acosk2b?k2e?3bcosk2a coskk2b?k3e?3bcosk2asink2b?k?k2e3bsink2asink2b）） 17
。
2?(ek1a?e?k1a)[?k2k3cosk2(b?a)?k2sink2(b?a)]e?k3b ?(ek1a?e?k1a)[k1k3sink2(b?a)?k1k2cosk2(b?a)]e?k3b ?ek1a2[?(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?k3b
2 e?k1a[(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?k3b?02? [?(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?k3b
2 ?[(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?k3b?0 [(k?k1k3)e222k1a?(k?k1k3)]tgk2(b?a)?(k1?k3)k2e222k1a
?(k1?k3)k2?0 此即为所求方程。 #
补充练习题一
1、设 ?(x)?Ae(?为常数)，求A = ？ 解：由归一化条件，有 1?A21??2x22?e???e??22xd( x)?A221?????e??22xd(? x)
??y2???A21????y2??dy?A1?? 利用?edy?? ∴A?? # ?1?? 211??2a2??? 22?1??a0
2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为E0? 设基态的经典界限的位置为a，则有 E0? ∴a? 在界限外发现振子的几率为
???0
? ?
? ? a ??? ? ?? x ? dx e e x dx (? ?
0 ? ? ? ? a
?
22
?
22
0
? ??e x ) ?
22
18
?? ?2??2????a0?ee??2x2dx (偶函数性质)d(? x)
12?(?x)2?2a0??21e?ydy22?? 式中 当x??2[?e?ydy??e?ydy]??????[??2?212?x?2??e?t2/2dt] （令y?12t)2??12e?t2/2dt为正态分布函数?(x)???e?2???1?t2/2dt
2时的值?(2)。查表得?(2)??0.92
?[????0.92] ?2(1?0.92)?0.16 ∴???? ∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #
??2?3、试证明?(x)?e3?122x(2?3x3?3?x)是线性谐振子的波函数，并求此波函数对
应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为
?2d21 ??(x)???2x2?(x)?E?(x) ①
2?dx2 把?(x)代入上式，有
dd??2?2x2?(x)?[e(2?3x3?3?x)]dxdx3????23332 ?[??x(2?x?3?x)?(6?x?3?)]e23?1221x
??2??e3?122x(?2?5x4?9?3x2?3?)1?d2?(x)d???2?2x25432?e(?2?x?9?x?3?)?? 2dx?3?dx?11??2x2???2?2?2x254325332???xe(?2?x?9?x?3?)?e(?8?x?18?x) ??
3?????2?x422?(?x?7?)e(2?3x3?3?x) 3??(?4x2?7?2)?(x)d2 把2?(x)代入①式左边，得
dx221 19
?2d2?(x)122左边?????x?(x)22?dx2?2?2421 ?7??(x)??x?(x)???2x2?(x)2?2?22???2?2??42122 ?7???(x)?（）x?(x)???x?(x) ?2?2??2711???(x)???2x2?(x)???2x2?(x)2227 ????(x)2右边?E?(x) ?7??时，左边 = 右边。 n = 3 21?d?2?2x2 ?(x)?其对应的能量e(2?3x3?3?x)，是线性谐振子的波函数，
3?dx7为??。 2 当E?
第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态?(x)? (1)势能的平均值U??e???2x2i2??t2，求：
1??2x2； 2p2 (2)动能的平均值T?；
2? (3)动量的几率分布函数。 解：(1) U?11???2x2???222?????x2e??2x2dx
1?1?111?2 ??2?222???2????22?24??2?2??1 ???
4?1?3?5???(2n?1)?2n?ax2 xedx?n?1n?0a2a ?p21?*?2?(x)dx (2) T???(x)p?2?2????1??2? ?e????2?122xd2?2?2x2(??)edx 2dx21 20