②?? 2不是线性算符 2 ? [c22c221u1?c2u2]?c1u1?2c12u1u2?c2u2 ?c21[u1]?c2
2[u2] ③
?n是线性算符
K?1nNNNN
?c1u1?c2u2?c2K?1?c1u1??c2u2?c1K?1?u1?K?1?u2
K?1K?1
6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
ddx， i dd2dx ， 4 dx 2 解： ?????*ddx? dx??*? ??d-?????dx?*? dx当 x???，??0，??0 ? ??d?d????*dx? dx?????dx?*? dx?????(ddx?)*? dx ?????(ddx?)*? dx? ddx不是厄米算符 ??d?d???*idx? dx?i?*? ?-??i???dx?*? dx ??i??d?d??(dx?)*? dx????(idx?)*? dx
?iddx是厄米算符 ?????*4d2dx2? dx?4?*d?dx ??d?*d?-??4???dxdx dx ??4??d?*d? dx?4d?*??4
??dxdxdx??d2?*??dx2? dx ??4??d22
??dx2?*? dx?????(4ddx2?)*? dx?4d2dx2是厄米算符d27、下列函数哪些是算符dx2的本征函数，其本征值是什么？
①x2
， ② ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx?cosx
d2 解：①dx2(x2)?2 d2 ∴ x2
不是dx2的本征函数。
36
d2xxe?e ② 2dxd2x ∴ e不是2的本征函数，其对应的本征值为1。
dxd2d(sinx)?(cosx)??sinx ③2dxdxd2∴ 可见，sinx是的本征函数，其对应的本征值为－1。
dx2d2d(3cosx)?(?3sinx)??3cosx?(3cosx) ④
dxdx2d2 ∴ 3cosx 是2的本征函数，其对应的本征值为－1。
dxd2d(sinx?cosx)?(cosx?sinx）??sinx?cosx ⑤dx2 dx??(sinx?cosx)d2x?cosx是2的本征函数，其对应的本征值为－1。 ∴ sindx
???ie 8、试求算符Fixd的本征函数。 dx?的本征方程为 解：F???F? F即 ?ieix
d?F?dxdd)?d(?Feix) dxdxd???iFeixdx??d(Feixd?lncdx?ix?是F的本征值） ??ce?Fe（Fln???Feix
9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
a?0, x???2 解： U(x)??
a??, x??2? 方程（分区域）：
a2a Ⅲ：U(x)?? ∴ ?III(x)?0 (x?)
2?2d2?II Ⅱ：??E?II 22?dx
Ⅰ：U(x)?? ∴ ?I(x)?0 (x??)
37
d2?IIdx2?2?E?2?II?0 令 k2?2?E?2 d2?IIdx2?k2?II?0 ?II?Asin(kx??)
??(?a)??(?a 标准条件：?I?2II2) ???aaII(2)??III(2) ∴ Asin(?kx??)?0 ∵ A?0
∴ sin(?kx??)?0 取 ??ka2?0， 即 ??ka2
∴ ?x?aII(x)?Asink(2)
Asinka?0 ? sinka?0
∴ ka?n? (n?1, 2, ?)
k??an
?a ∴ 粒子的波函数为 ?(x)???Asin?n?a(x?a2), x?2?a??0, x?2 粒子的能级为E??222n?2k22?k?2?a (n?1, 2, 3, ?) 由归一化条件，得
1????(x)2d??A2?a/2sin2n????a/2a(x?a2)dx ?A2?a/21?a/22[1?cos2n?a(x?a2)]dx ?A2?a2a/22?A??a/2cos2n?a(x?a2)dx a ?aA2?A2?asin2n?(x?a222n?a2)a ?2 ?a2A2 ∴ A?2a
38
∴ 粒子的归一化波函数为
?2?naasin(x?), x???aa22
?(x)??a?0, x??2?
10、证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为
a0、4a0、9a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径）
。 证：1s: ?(r)210dr?R10r2dr ?(1a)3?4e?2r/a0?r2dr 0
?110(r)?()3?4r2e?2r/a0a 0 d?10?4(1)3?(2r?2r2)e?2r/a0dra
0a0 ?8(1)3?(1?1r)re?2r/a0aa
00令
d?10dr?0，则得 r11?0 r11?a0
d2 ?10132?rr?2r/a0dr2?8(a)?[(1?r)?(1?)e]0a0a0a0 ?8(1234r2r?2r/a0a)?(1??2)e]
0a0a0
d2?10dr2?0 ∴r11?0为几率最小处。
r11?0
d2?10dr2?0 ∴r11?a0为几率最大处。
r11?a0 2p: ?221(r)dr?R21r2dr
?(123r?r/a022a)?a2e?rdr
030 ?13r2?r/a21(r)?(02a)?2e 03a0 d?21113?r/a0dr?24a5?(4?r)re 0a0
d2?2118r22?r/a0dr2?24a5(1?r?）re] 0aa200 39
d?21?0，则得 dr r21?0 r22?4a0
令
d2?21dr2?0 ∴
r22?4a0为最大几率位置。
r22?4a0 当 0?r?4a0时，
d2
?10dr2?0 ∴r?0为几率最小位置。 2r 3d: ?32(r)?R2?86?3a03298415a7re 0 d?2r3282r5?dr?98415a7(5?)re3a0 03a0令
d?32dr?0，得 r31?0, r32?9a0
同理可知 r31?0为几率最小处。
r32?9a0为几率最大处。
11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
22 解：?(x)???2?xe?12?x12? ?22?32??2x21(x)??1(x)??xe d?1?4?3(x??2x3)e??2x2dx?
?4?322?(1??2x2)xe??x
d2?1?4?3(1?5?2x2?2?4x4)e??2x2dx2? 令
d?1dx?0，得
x1?0，x2??12???????x0 0
d2?1dx2?0， ∴ x1?0为几率最小处。
x1?0
d2?1dx2?0， ∴ x2??1x2??x0为几率最大处。 2??12 40