x?2????A2x2[sin2kx?21coskx]2dx?? 22 (?x)2?(?p)2?(x2?x)?(p2?p)?? 3.12 粒子处于状态 ?(x)?(12??2)1/2ix2exp[p0x?2]
?4?式中?为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(?x)2?(?p)2??
解：①先把?(x)归一化，由归一化条件，得 1? ???12??2??ex2? 22?dx?12?22?????e? (x2?2)2d(x2?2)
12??2?2?12 ∴?? /
2? ∴ 是归一化的
?(x)?exp[p0x? ② 动量平均值为
??(1)1/2
i??2x2]
i? p0x? x2 p0x? x2?di?22 p???*(?i?)?dx??i??e( p0?? x)e?dx
????dx??i ??x2dx ??i??( p0?? x)e?????i? ?p0????e ??x2dx?i? ??xe??? ??x2dx
?p0
③ (?x)2?(?p)2?? x?2?????*x?dx??xe ??xdx （奇被积函数）
???2 x?????xe2 ??x221dx??xe??x2????1?2?????e ??xdx
21 2?ii2? p0x??x2dp0x??x2??d2222??? dx????ee dx p?????*????dxdx2??2p02??x222)?i2??p0?xedx????x2e??x dx ??(???????2p01?22)?0?(??2?2)?(?2?p0) ??(???2?22122 (?x)?x?x?
2? ?? (?p)?p?p?(
222?222?2?p0)?p0??2?2
31
1?1 (?x)2?(?p)2?222??2??4? #
3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为
?r?R
由测不准关系
(?r)2?(?p)2??2 4
得 (?p)??224R2 对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符?p为奇宇称，所以
p?0
又有 (?p)2?p2?p2
p2?(?p)2??2所以4R2
?2可近似取 p2?R2
P2e2能量平均值为 E?s2??r
e2se2作为数量级估算可近似取sr?R E??2e2则有 s2?R2?R
基态能量应取E的极小值，由
?E?2?R??e2s?R3?R2?0 R??2得 ?e2 s代入E，得到基态能量为 E?e4smin??2?2
补充练习题二
1．试以基态氢原子为例证明：?不是T?或U?的本征函数，而是T??U?的本征函数。 解：?12100?13/2?r4?(a)2e/a0 (1? es0a?2)
0? 32
?21?2?1?1?2?T??[(r)?(sin?)?]2?r2?r?rsin???sin2???22e???sUr
??T100?21?2??100??(r)22?r?r?r
?2113/21?2??r/a0 ??()?2(re)2??a0?r?rr?2113/212?r/a0?212 ??()(2?)e??(2?)?1002??a02?a0a0ra0a0r ?常数??100?的本征函 数 ?100不是T2e????s? U100100r?的本征函数 可见，?100不是 U?2113/212?r/a0es2??而 (T?U)?100??()(2?)e??1002??a0ra0a0r?21?2?2 ???100????22?a0?a0r100?a0r100?21 ???10022?a0??U?)的本征函数。 可见，?100是(T
2．证明：L?率最大。
6?，L???的氢原子中的电子，在??45?和 135?的方向上被发现的几
2 解： ?W?m(?,?)d??Y?md? ∴ W?m(?,?)?Y?m L?2
6?，L???的电子，其??2, m??1
? Y21(?,?)??
15sin?cos? ei?8?15si?nco?s e?i?8?15152sin2?cos2??sin22? ∴W2?1(?,?)?Y?m?8?32?当??45?和 135?时
15 W2?1?为最大值。即在??45?，??135?方向发现电子的几率最大。
32?15 在其它方向发现电子的几率密度均在0～之间。
32? Y2?1(?,?)??
33
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径 )。 证：①对1s态，n?1, ??0, R13/2?r/a10?(0a)e 0W(r)?r2R21010(r)?(132?2r/a
a)4re00?W
10?(1)34(2r?2ar2)e?2r/a0?ra00 令
?W10?r?0 ?r1?0, r2??, r3?a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W10?0不是最大值。
W410(a0)?ae?2为最大值，所以处于1s态的电子在 r?a0处被发现的几率最大。0 ②对2p态的电子n?2, ??1, R13/2r21?()e?r/2a02a3a
00W21(r)?r2R2?(13r4221
2a)?r/a02re03a0?W
211r??r?24a5r3(4?)r/a00ae0 令
?W21?r?0 ?r1?0, r2??, r3?4a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W21?0为最小值。
?2W21?r2?124a5r2(12?8r?r2?r/a0 0a2)e0a0
?2W211?r2?24a5?16a20(12?32?16)e?4??8?4r?4a03a3e?0 00 ∴ r?4a0为几率最大位置，即在r?4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。 ③对于3d态的电子 n?3, ??2, R2)3/21232?(15(ra)e?r/3a0a 0810W232(r)?r2R?116?r/3a320
a7812?15re?W32?r?852r
812?15ar(6?)e?2r/3a0703a0 令
?W32?r?0 ?r1?0, r2??, r3?9a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W32?0为几率最小位置。
?2W32?r2?1624r52r6?2r/3a0812?15a7(15r? 0a?2)e09a0 34
?2W32?181?15a7(9a0)4(15?36a?81a2020?62
?r2r?9a00a?2)e09a0
??16?5a3e6?00 ∴ r?9a0为几率最大位置，即在r?9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。
4. 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为 U(x)???0, x?0 (在金属内部)?U0, x?0 (在金属外部)
其中 U0?0，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。 解：设电场强度为?，方向沿χ轴负向，则总势能为
V(x)??e? x (x?0)， V（x）?U0?e? x （ x?0） 势能曲线如图所示。则透射系数为
D?exp[?2??x1x2?(U0?e? x?E)dx] 2式中E为电子能量。x1?0，x2由下式确定
p?2?(U0?e? x?E)?0 ∴ xU0?E2?e?
令 x?U0?Ee?si2n?，则有 ?x1U0?Ex2?(U?E)dx?20?e? x?2?02?(U0?E)?e?2sin2? d?2??2U3 0?Ee?2?(U(?cos?0?E)3)
0 ?2U0?E3e?2?(U0?E) ∴透射系数D?exp[?2U0?E3?e?2?(U0?E)]
5．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① 4x2d2dx2； ②
?? 2 ； ③
?n
K?12d2 解：①4xdx2是线性算符
? 4xd22222d dx2(cux2d11?c2u2)?4dx2(c1u1)?4xdx2(c2u2)22 ? c?4x2dd1dx2u1?c2?4x2dx2u2
35