??22?22??x22 ??2?????(1??x)edx
???2?2[??e??2x2dx??2??x2e??2x2?2?????dx]
???22???2??[???2?2?3]
??22 ?2??2?2???2??2??4???4??? ?14?? 或 T?E?U?1112???4???4??
(3) c(p)???*p(x)?(x)dx
?1???122?x2?i2?????? ee?Pxdx
?1???1?2x2?i22?????? ee?Pxdx
?1??12(x?ip2p2?2??2?)?2?2?22?????? edx ?1??p222?2?2(x??2?)222???e???1?? e?ipdx ?1??p2p22?2?22?e???1???e?2?2?22??
动量几率分布函数为 p2 ?(p)?c(p)2?1?2?2???e?
#
3.2.氢原子处在基态?(r,?,?)?1?r/a0?a3e，求：
0 (1)r的平均值；
(2)势能?e2 r的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1)r??r?(r,?,?)2d??12???2r/a0?a30??0?0?0rer2sin? drd? d? ?4r/a0a3dr 0??0r3a?2 21
??axn!0xnedx?an?1
?43!a4?33a00??2 ?2??a?0??e2e2(2)U?(?r)???a30???2??100?re?2r/a00r2sin? drd? d???e2?a30???2???2r/a000?0ersin? drd? d?
??4e22r/a0
a30??0e?r dr?4e21e2?a3?2??0??2?a0?a?0??
(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
?(r)dr???2?0?0[?(r,?,?)]2r2sin? drd? d??4?2ra3e/a0r2dr 0
?(r)?4?2r/a02a3er 0 d?(r)?42/a0dra3(2?r)re?2r0a
0 令
d?(r)dr?0， ? r1?0, r2??, r3?a0 当 r1?0, r2??时，?(r)?0为几率最小位置
d2?(r)dr2?4a3(2?8r?4r2)e?2r/a0 0aa200
d2?(r)8?dr2??r?a0a3e2?0 0 ∴ r?a0是最可几半径。
(4)T??122?p?2???2??2 ? 2 ? 1r ????1??1??2??r(r2?r)?sin???(sin???)?sin2???2?? T???2?2??1?r/a022??0?0?0?a3e?(e?r/a0)r2sin? drd? d? 0???2?2??12??0?0?0?a3e?r/a01d2dr[r2d(e?r/a0)]r2sin? drd? d? 0rdr ??4?2 13(?a(2r?r2?r/a02?a00??0a)e dr
022
?
?4?2a2a22 00?2?a4(2?)? 0442?a20 (5) c(p)???*?p(r?)?(r,?,?)d? c(p)?1(2??)3/2??10?a3e?r/a0r2dr???i?prcos?0esin? d??2?0d?
0 ?2??2?i?prcos?(2? d(?cos?)
?)3/2?a3?0re?r/a0dr??0e0? ?2??r/a0(2?dr??i?prcos??)3/2?a3??0r2e0ipre
0??ii ?2?(2??)3/2?a3re?r/a0(e?pr?e??pr)dr 0ip?0 ??!0xne?axdx?nan?1 ?2??(2??)3/2?a3[1?1]
0ip(1a?ip)2(1?ip)20?a0? ?14ip2a332 0?ip?a?(1?p2)20a20? ?4a440?2a3?3?a(a2222000p??)
2 ?(2a0?)3/??(a20p2??2)2
动量几率分布函数
?(p)?c(p)2?8a350??2(a2??2)4 0p#
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer?Je??0 Je??e? m2? rsin??n?m
证：电子的电流密度为 J??
i?e??eJ??e2?(?**n?m??n?m??n?m??n?m) ?在球极坐标中为
??e??1???r?r?e?e1??? 式中e???r??rsin???r、e?、e?为单位矢量
23
????1???i?1?*Je??eJ??e[?n?m(er?e??e?)?n?m2??rr??rsin???
??1???1?* ? ? n(e?e?e)?n?m]?mr???rr??rsin????ie???*?1?**??[er(?n?m?n???)?e(??n?m?mn?mn?m?n?m2??r?rr??
?1?1?1?*** ??n?n?m)?e?(?n?m?n?n?n?m)]?m?m??mr??rsin???rsin??? ??n?m中的r和?部分是实数。
?ie?e?m22?2? ∴ Je??(?im?n?m?im?n?m)e? ???n?me?
2?rsin??rsin? 可见，Jer?Je??0
e?m2?n?m Je????rsin?#
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为
?me???2? (SI)? M?Mz??me??? (CGS)??2?c 原子磁矩与角动量之比为
?e? (SI)Mz??2? ??Lz??e (CGS)??2?c这个比值称为回转磁比率。
解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM?iA?Je?dS?A （i为圆周电流，A为圆周所围面积）
e?m2?n?mdS??(rsin?)2
?rsin?e?m2?rsin??n?mdS ?? ??? ??e?m???r2sin??n?mdrd? (dS?rdrd?)
?2 (2)氢原子的磁矩为 M?dM? ?????00?e?m???n?mr2sin? drd?
2??e?m2?2????n?mr2sin? drd?
002? 24
e?m2???22 ???n?mrsin? drd?d?
2??0?0?0e?m ?? (SI)
2?e?m 在CGS单位制中 M???
2?c 原子磁矩与角动量之比为 #
MzMMzee??? (SI) ?? (CGS) LzLz2?Lz2?cL23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此
2I对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2?L2Z
221?d2????? 哈米顿算符 H LZ22I2Id??与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H
?2d2??(?)?E?(?)2Id?2d?(?)2IE ???(?)d?2?22
2IE，则 2?d2?(?) ?m2?(?)?0 2d? 令 m?2 取其解为 ?(?)?Ae由波函数的单值性，应有
i2m?im? (m可正可负可为零)
?(??2?)??(?)?eim(??2?)?eim?
?1 即 e ∴m= 0，±1，±2，…
m2?2转子的定态能量为Em? (m= 0，±1，±2，…)
2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为
2??m?Aeim?
2?A为归一化常数，由归一化条件
* 1???m?md??A2?d??A22?00?A?12?
∴ 转子的归一化波函数为
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