2 积分中值定理的证明
2.1 定积分中值定理
引理：假设M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有
m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a),(a?b)
成立。
证明：因为M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，即
m?f(x)?M，我们对不等式进行积分可得
?由积分性质可知
bamdx??f(x)dx??Mdx，
aabbm(b?a)??baf(x)dx?M(b?a) （2－1）
成立，命题得证。
定理1（定积分中值定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一个点?，使下式
?成立。
baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b)
证明：由于b?a?0，将（2－1）同时除以b?a可得
m?1b?aba?b?a1baf(x)dx?M。
此式表明
?f(x)dx介于函数f(x)的最大值M和最小值m之间。
由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[a,b]上至少存在一点?，使得函数f(x)在点?处的值与这个数相等，即应该有
1b?a?baf(x)dx?f(?)，
成立，将上式两端乘以b?a即可得到
?命题得证。
baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b)，
备注1：很显然，积分中值定理中公式
2
?baf(x)dx?f(?)(b?a) （?在a与b之间）
不论a?b或a?b都是成立的。
2.2 积分第一中值定理
定理2（第一积分中值定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在[a,b]上是可积的，则在[a,b]上至少存在一点?，使得
?成立。
baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx,ab(a???b)
证明：由于g(x)在[a,b]上不变号，我们不妨假设g(x)?0，并且记f(x)在[a,b]上的最大值和最小值为M和m，即m?f(x)?M，将不等式两边同乘以g(x)可知，此时对于任意的x?[a,b]都有
mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x)
成立。对上式在[a,b]上进行积分，可得
m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?Maabb?bag(x)dx。
此时在m,M之间必存在数值?，使得m???M，即有
?成立。
baf(x)g(x)dx???g(x)dx
ab由于f(x)在区间[a,b]上是连续的，则在[a,b]上必定存在一点?，使f(?)??成立。此时即可得到
?命题得证。
baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx，
ab2.3 积分第二中值定理
定理3（积分第二中值定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而g(x)在区间
(a,b)上单调，则在[a,b]上至少存在一点?，使下式成立
b?baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx （2-2）
a??特别地，如果g(x)在区间(a,b)上单调上升且g(a)?0 ，那么存在?，使下式成立
?baf(x)g(x)dx?g(b)?f(x)dx （2-3）
?b 3
如果g(x)在区间(a,b)上单调下降且g(b)?0，那么存在?，使下式成立
?baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx （2-4）
a?证明：由题设条件知f(x),g(x)在区间[a,b]上都是可积的，由积分性质可知f(x)?g(x)也是可积的。我们先证明（2-3）式，即在g(x)非负、且在区间(a,b)上单调上升的情形下加以证明。 对于（2-4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2-2）式。
在区间[a,b]上取一系列分点使a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b，记?xi?xi?xi?1，其中?i为g(x)在?xi上的幅度，即?i?sup{g(x)}?inf{g(x)}，再将所讨论的积分作如下
[xi?xi?1][xi?xi?1]改变：将积分限等分为如下n等份，并且记
n??i?1xixi?1nf(x)[g(x)?g(xi)]dx??，?g(xi)?i?1xixi?1f(x)dx??。
则
?banf(x)g(x)dx??i?1n?xixi?1f(x)g(x)dx
nxixi?1??i?1g(xi)?xixi?1f(x)dx??i?1?f(x)[g(x)?g(xi)]dx????，
因为f(x)在[a,b]上可积，且区间[a,b]是有限的，所以f(x)在[a,b]上有界，此时我们不妨假设f(x)?L。
估计?如下：
n????i?1xixi?1f(x)[g(x)?g(xi)]dx
n ? ???i?1nxixi?1f(x)g(x)?g(xi)dxxixi?1
?i?1nf(xi)xixi?1?g(x)?g(xi)dxn
?L?i?1??idx?L??i?xi
i?1n由于g(x)可积，所以当??max?xi?0时，有??i?xi?0，从而有lim??0，从而
i?1??0可知
4
?baf(x)g(x)dx?lim(???)?lim??lim?
??0??0??0n?lim??lim??0bx??0?g(x)?ii?1xixi?1f(x)dx
我们记F(x)??f(x)dx，由于函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，那么函数F(x)是[a,b]上的连续函数，并且有最大值和最小值M和m，记为m?F(xi)?M，很显然
?从而
nxixi?1f(x)dx?F(xi?1)?F(xi)，F(x0)?F(b)?0，
??n?i?1g(xi)?xixi?1f(x)dx
??g(x)?F(xii?1ni?1)?F(xi)?
n??g(x)F(xii?1i?1)??g(xi)F(xi)
i?1nn?1 ?g(x1)F(x0)??g(xi)F(xi?1)??g(xi)F(xi)
i?2n?1i?1?g(x1)F(x0)??[g(xi?1i?1)?g(xi)]F(xi)
因为g(x)是非负的，并且在区间(a,b)上单调上升，即有g(x1)?g(x0)?g(a)?0、
g(xi?1)?g(xi)?0成立，所以有下式成立
n?1n?1i?1m{g(x1)???g(xi?1)?g(xi)?}???M{g(x1)???g(xi?1i?1)?g(xi)?}。
即有
mg(b)???Mg(b)
成立。从而可以得到lim???g(b)，其中?满足m???M。由于函数F(x)连续，则在[a,b]之间存在一点?，使??F(?)???bf(x)dx成立，从而有公式（2-3）成立，即
ba?成立，（2-3）式得证。
f(x)g(x)dx?g(b)?f(x)dx
?b对于g(x)单调下降且g(b)?0的情形即公式（2-4）的证明过程是类似的，证明略。
5
对于g(x)是一般单调上升情形，我们作辅助函数?(x)?g(x)?g(a)，其中?为单调上升且?(a)?0，此时公式（2-3）对于?(x)是成立的，即存在?使
?baf(x)?g(x)?g(a)?dx??g(b)?g(a)??f(x)dx
?b成立，这就证明了公式（2-2）
?命题得证。
baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx。
a?b?对于g(x)是一般单调下降的情形，此时应用公式（2-4），同样可得到（2-2）式，此
2.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理
定理4（第一中值定理）：若f(M)在?上黎曼可积，则存在常数c使得
?证明：假设
?f(M)d??c?(?的度量)
成立，这里的c介于f(M)在?上的上确界和下确界之间。
sup?f(M)??M,infM??M???f(M)??m，
由命题可知m?f(M)?M，由积分性质，对不等式在?上进行黎曼积分可得
?即有
?md?????f(M)d????Md?，
m?d????f(M)d??M??d?，
其中
??d?为几何形体?的度量。此时即可得到
??f(M)d?是介于m?(?的度量)和
M?(?的度量)之间，从而有
??f(M)d??c?(?的度量)
成立，其中c为位于m,M之间的一个数，命题得证。
定理5（二重积分的中值定理）：假设函数f(x,y)在闭区域D上连续，其中?是D的面积，则在D上至少存在一点(?,?)使得
??Df(x,y)ds?f(?,?)??
成立。
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