例9 证明（狄里克莱判别法）如果F(A)??Aaf(x)dx有界，即存在K?0，使得
??a?Aaf(x)dx?单调且当K,g(x)x???时趋向于零，那么积分?f(x)g(x)dx收敛。
证明：因为g(x)?0(x???)，所以对任意的??0，存在A0，当A?A,A?g(A?)??。又因
0时，g(A)??，
?Aaf(x)dx?K?A，所以
?同样我们有
f(x)dx???af(x)dx??Aaf(x)dx?2K，
??A?f(x)dx?2K。
由第二积分中值定理，只要A?,A?A0，就有
?所以积分???aA?Af(x)g(x)dx?g(A)??Af(x)dx?g(A?)??A?f(x)dx?4K?
f(x)g(x)dx收敛，命题得证。
备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为： 设f(x)在x?a有奇点，?baba??f(x)dx是?的有界函数，g(x)单调且当x?a时趋于零，
那么积分?f(x)g(x)dx收敛。
证明：对?a???a??f(x)g(x)dx应用第二积分中值定理，证明过程略。
备注5： 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：
设积分?f(x,y)dx对于A?a和y?[c,d]是一致有界的，即存在正数K，使对上述A,yaA成立
?Aaf(x,y)dx?K
又因为g(x,y)关于x是单调的，并且当x???时，g(x,y)关于[c,d]上的y一致趋于零，即对于任意给定的正数?，有A0，当x?A0时，对一切y?[c,d]成立
g(x,y)??，
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那么积分???af(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上是一致收敛的。
证明：由所假设的条件可推知对任何A?,A?a，有
??A?Af(x,y)dx?A?a?Aaf(x,y)dx??A?af(x,y)dx
?Aaf(x,y)dx??f(x,y)dx?2K
而由g(x,y)??和上式可推知，当A?,A?a时
??a
?A?Af(x,y)g(x,y)dx?g(A,y)A?(y)??(y)Af(x,y)dx ，
?g(A?,y)??f(x,y)dx???2K???2K?4K?因此，?
f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上是一致收敛的，命题得证。
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7 结论
本课题通过讨论积分中值定理，对积分中值定理内容如积分中值定理的定义、推广、渐进性质、应用加以说明，使得我们对积分中值定理有一个大概的了解。本文论述得还是比较完全的，对于积分中值定理的各个方面有关情形都一一加以讨论。而且对于现在比较热门研究的渐进性问题有了初步了解，但相对于当今的研究方向来说讨论还是比较少的，并且讨论的时候对于给出的条件比较苛刻。此外，积分中值定理的推广问题也是当今数学研究的一个方向，我们再此也给出了简单的介绍。但课题的内容缺少了与实际接轨的东西，理论性质比较强，任何学科的研究都是为现实生活服务的，我希望在应用方向能够找到更加实际的东西，因此当然希望以后能有现实的东西加在理论问题的研究之中。
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谢 辞
首先，我要衷心感谢我的导师黄老师两个多月来对我辛勤的培育和无微不至的关怀。在选题，查找资料，撰写，到反复修改，乃至定稿，都得到了黄老师的悉心指导。黄老师有着严谨的治学态度，忘我的工作态度以及正直的为人和宽广的胸怀，是我们的楷模，也使学生铭记于心，这些将影响我日后的工作和学习，将使我受益终身。
其次，我要感谢我四年同窗好友434宿舍的全体姐妹们，她们总是在我遇到困难的时候伸出友谊之手，在论文的撰写及校正过程中，她们更是给了我大量的建议和帮助，在此向她们表示感谢！
最后，我要感谢07级信息与计算科学专业以及信息科学技术学院的所有老师和同学，感谢他们在四年来的支持和帮助。
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参考文献
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