?f(?)?f(a)=lim?nx?a?0?(??a)??f(?)?f(a)(??a)n?g(t)dt?a?????x?a??x?a??????a?nx
?limx?a?0???a??lim????limx?a?0??0x?a??n?a??ag(t)dt?
由洛比达法则，则有limf?(n)?a??ag(t)dt???0??g(a)，因此可得
n?(a)g(a)n!???a??lim??,x?a?0x?a??(a???x)。 （4-2）
比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim??ax?ax?a?0?n1n?1,x?(a,b)。
定理15：假设函数f(x)在[a,b]上连续，f??(a)存在并且有f??(a)?0，有g(a)?g??(a)?g???(a)???g?g(x)在[a,b]上有m阶导数，
(m?1)(a)?0， g?(m)(a)?0成立，
并且g(m)(x)在a点连续，g(x)不变号，则第一积分中值定理中的点?满足
lim??ax?ax?a?0?m?1m?2,x?(a,b)。
证明：对任意的x?(a,b)，构造辅助函数H(x)如下
H(x)??xaf(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax(x?a)m?2 。
一方面，当x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有
x?a?0limH(x)?limf(x)g(x)?f(a)g(x)(m?2)(x?a)?g(x)(x?a)mm?1
x?a?0=limf(x)?f(a)x?ax?a?0?1m?2
?f??(a)，且函数g(x)在[a,b]上有m由于x?a?0，则lim式等于
1m?2f(x)?f(a)x?ax?a?0阶导数，则上
?f??(a)?limg(x)(x?a)mx?a?0?1m?2?f??(a)?g?(x)m!(m)（4-3）
另一方面，由积分中值定理
17
?则
limH(x)?limxaf(t)g(t)dt?f(?)?g(t)dt。
ax[f(?)?f(a)]??g(t)dt(x?a)xam?2xx?a?0x?a?0(a???x)
[f(?)?f(a)]??a?ag(t)dt=lim??m?1x?a?0??ax?a(x?a)[f(?)?f(a)]
=limx?a?0??a?lim??ax?ax?a?0?lim?xag(t)dtm?1x?a?0(x?a)
对H(x)使用洛比达法则可得
=f??(a)?g?(a)(m?1)!(m)?lim??ax?a（4-4）
m?1m?2x?a?0比较（4-3），（4-4）式我们可以得到lim??ax?ax?a?0?,x?(a,b)。
n?1)定理16：设函数f(x)在[a,b]上n阶可导，f??(a)?f???(a)???(?f(a)?，0f(n)(x)?0，f(n)(x)在a点连续；函数g(x)在[a,b]上有m阶导数，且
(m?1)g(a)?g??(a)?g???(a)???g?(a)?0，g(m)(a)?0，并且g(m)(x)在a点连续，g(x)不变
??ax?a?n号，则第一积分中值定理中的?满足limm?1m?n?1x?a?0,x?(a,b)。
证明：对任意的x?(a,b)，我们构造辅助函数L(x)如下
L(x)??xaf(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax(x?a)m?n?1
一方面，由于x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有
x?a?0limL(x)?limf(x)g(x)?f(a)g(x)(m?n?1)(x?a)?g(x)(x?a)mm?n
x?a?0=lim?f(x)?f(a)(x?a)nx?a?0?1m?n?1?lim1m?n?1?limf(x)?f(a)(x?a)ng(x)(x?a)mx?a?0x?a?0 18
由于函数f(x)在[a,b]上n阶可导，且函数g(x)在[a,b]上m阶可导，则上式等于
?1m?n?1?f?(n)(a)g?(x) （4-5） ?n!m!(m)另一方面，由积分中值定理
?则
limL(x)?limxaf(t)g(t)dt?f(?)?g(t)dt。
ax[f(?)?f(a)]??g(t)dt(x?a)nam?n?1xx?a?0x?a?0(a???x)
g(t)dt[f(?)?f(a)](??a)?a=lim??nmm?1x?a?0(??a)(x?a)(x?a)[f(?)?f(a)](??a)nx
=limx?a?0?lim(??a)(x?a)nmx?a?0?lim?xag(t)dtm?1x?a?0(x?a)
对L(x)使用洛比达法则可得
?f?(n)(a)n!???a?g?(a)?lim?,??x?a?0?x?a?(m?1)!n(m)(a???x) （4-6）
m?1m?n?1比较（4-5）、（4-6）式我们可以得到lim??ax?ax?a?0?n,x?(a,b)。
19
5 第二积分中值定理中值点的渐进性
定理17 ：假设函数f(x)在[a,b]上单调，并且在a点的右导数存在，且有f?(a?0)?0；
g(x)在[a,b]上可积，在a点的右极限存在，且g(a?0)?0。则第二积分中值定理中的?满
足
lim??ax?a?0x?a?12,x?(a,b)。
证明：对于任意的x?(a,b)，构造辅助函数F(x)如下
xxF(x)??af(t)g(t)dt?f(a)?ag(t)dt(x?a)2。
一方面，当x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得
x?lima?0F(x)?xlimf(x)g(x)?f(a)g(x)?a?02(x?a)?1(x)?f(a)12limg(x)??）
x?limfa?0(x?a)x?a?02f(a?0)g(a?0)?0（5-1另一方面，由第二积分中值定理，有
f(a)limF(x)?lim??g(t)dt?f(x)?xg(t)dt?f(a)?xa?ag(t)dtx?a?0x?a?0(x?a)2
f(a)?g(t)dt?f(x)??lim?x?xa???ag(t)dt??ag(t)dt????f(a)?ag(t)dtx?a?0(x?a)2
f(x)?f(a)xt)dt??lim???g(?f(x)?f(a)???aag(t)dtx?a?0(x?a)2
?xg(t)dt??g(t?f(x)?f(a)??a)dt??
xlim?a?0x?axlim?a?a?0????x?a???xg(t)dt???g(t)dt??a?a?xlimf(x)?f(a)?a?0x?axlim??a?a?0?x?a???a?x?a? ?????f?(a?0)???a??g(a?0)?g(a?0) ?xlim?a?0x?a?? 20
??a???f?(a?0)g(a?0)?1?limx?a?0x?a???（5-2）
??ax?a12比较（5-1）、（5-2）式知1?lim将此定理推广，即可得到以下定理
x?a?0?，即可得到lim??ax?ax?a?0?12。
定理18：假设函数f(x)在[a,b]上单调，在[a,b]内有直到n阶导数，f续，f(x)在a点的右导数满足f?(a?0?)??f?(a??0?)f(n)(n)(x))在a点连
?a((n?1f?，0)0(a?0)?0;g(x)在[a,b]上可积，在a点的右极限存在，且g?(a?0)?0，则第二积分中
值定理中的?满足lim??ax?ax?a?0?nn?1,x?(a,b)。
证明：构造辅助函数
G(x)??xaf(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax(x?a)n?1
证明可仿造定理17，证明过程略。
定理19：假设函数f(x)在[a,b]上单调，函数f(x)在a点的右导数存在，并且有
f?(a?0)?0；g(x)在[a,b]上存在直到m阶导数，且有g(m)(x)在a点连续，并且满足
(m?1)g(a)?g?(a?0)???glim(a?0)?0，g(m)(a?0)?0，则第二积分中值定理中的点?满足
??ax?ax?a?0?m?11m?2,x?(a,b)。
证明：构造辅助函数
H(x)??xaf(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax(x?a)m?2，
证明可仿造定理17，证明过程略。
定理20：假设函数f(x)在[a,b]上单调，在[a,b]上有直到n阶的导数，f(n)(x)在a点
连续，并且在a点的右导数满足f?(a?0)?f??(a?0)???f(n?1)(a?0)?0，f(n)(a?0)?0；
g(x)在[a,b]上存在直到m阶导数，g(m)(x)在a点连续，且满足
(m?1)g(a)?g?(a?0)???glim(a?0)?0，g(m)(a?0)?0，则第二积分中值定理中的点?满足
??ax?ax?a?0?m?1nm?n?1,x?(a,b)。
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