证明：构造辅助函数
L(x)??xaf(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax(x?a)m?n?1，
证明可仿造定理17，证明过程略。
22
6 积分中值定理的应用
6.1 估计积分值
例1 估计?解：由于
11?0.5?11?0.5sinx?11?0.52x0dx1?0.5sinx的积分
，
即
23?11?0.5sinx?2。
于是
4?3??2x0dx1?0.5sinx?4?
此时可得到估计的积分值为
?ba2x0dx1?0.5sinx?8?3?4?3?(??1)。
例2 估计?sinx2dx,(0?a?b)的积分 解：设x?t。则
??1basinxdx?21?2ba2sintt2dt，
其次，假设f(t)?sint和?(t)?t2，则?(t)单调下降，并且有?(t)?0。于是，
12?ba2sintt2dx?1a12a??asintdx?2212a2(cosa?cos?)
2?sin??a2sin??a2?1a?
其中a2???b2，??1。因此
?例3 证明等式limn??basinxdx?2?a(??1)。
?n?pnsinxxdx?0。
证法1：由第一积分中值定理可知
23
limn???n?pnsinxxdx?limsin?nn???np?0，
其中?n位于n和n?p之间的某个值。
证法2：由第二积分中值定理可知得
? ?1nn?pnsinxxdx?1n1n???nnsinxdx
??cosn?cos?nn?pn?0(n??)，
其中?n位于n和n?p之间的某个值，于是limn???sinxxdx?0。
6.2 求含定积分的极限
例4 求极限lim?n??10xn21?x
解：利用广义积分中值定理
lim11??2n???x10xn21?x]10dx?11??12?10xdx
nn?1 ?则
[1?n?(1??)(1?n)2,(0???1)
limn???10xn1?xdx?lim21(1??)(1?n)2n???0
6.3 确定积分号
例5确定积分?x3exdx的符号
?11解：
?1?1xedx?3x?0?1xedx?3x3x?10xedxx??t?(?t)ed(?t)??103?t3x03?t?10xedx
?x3x??01tedt?3t?10xedx???tedt?1?10xedx?3x?10x(e?e3x)dx
由积分中值定理可知
?3x1?1xedx??(e?e13x3x3???)?0其中(0???1)。
1又xe在[?1,1]上不恒为0，则有?xedx?0，即?x3exdx的符号为正号。
?1?1 24
6.4 比较积分大小
?30?0例6 比较积分?4sinx和?4sin2x的大小 解：当x?(0,??32?4n?时)，0?six?1从而有0?sin3x?sin2x?1，于是我们有，
??40sinx??40sinx，即?4sinx30小于等于?4sin2x。
06.5 证明函数的单调性
例7设函数f(x)在(0,??)上连续，其中F(x)?若f(x)为非减函数，则F(x)必为非增函数。
证明：利用分歩积分法，将F(x)化为
F(x)??x0(x?2t)f(t)dt，试证：在(0,??)内，
?x0(x?2t)f(t)dt?x?f(t)dt?2?tf(t)dt
00xx对上式求导，可以得到：
F?(x)??x0f(t)dt?xf(x)?2xf(x)??x0f(t)dt?xf(x)。
由积分中值定理，可得：
F?(x)?xf(?)?xf(x)?x(f(?)?f(x)),(0???x)。
若f(x)为非减函数，则有f(?)?f(x)?0成立，因此可以得到F?(x)?0，故F(x)为非增函数，命题得证。
6.6 证明定理
例8 证明（阿贝尔判别法）如果f(x)在[a,??)上可积，g(x)单调有界，那么
???af(x)g(x)d收敛。x
证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[A,A?]上（其中A,A??a），存在??[A,A?]，使得
?A?Af(x)g(x)dx?g(A)???a?Af(x)dx?g(A?)?A??f(x)dx。
因为f(x)在[a,??)上可积，则?得当A?,A?A0时，成立
f(x)dx收敛，所以对于任何??0，存在A0?a，使
??Af(x)dx??, 25
??A?f(x)dx??。
又由g(x)?L,所以当A?,A?A0时，有
?A?Af(x)g(x)dx?g(A)?f(x)dx?g(A?)?A?A??f(x)dx
?g(A)??Af(x)dx?g(A?)??A?f(x)dx?2L?，
根据柯西收敛原理可推知积分???af(x)g(x)dx收敛。
备注2： 当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为：
假设f(x)在x?a有奇点，?f(x)dx收敛，g(x)单调有界，那么积分?f(x)g(x)dx收
aabb敛。
证明：对?a???a??f(x)g(x)dx应用第二积分中值定理，证明过程略。
备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：
假设???af(x,y)dx关于y?[c,d]为一致收敛，g(x,y)关于x单调（即对每个固定的
y?[c,d]，g(x,y)作为x的函数是单调的），并且关于y是一致有界的，即存在正数L，
对所讨论范围内的一切x,y成立：g(x,y)?L。那么积分
?关于y在[c,d]上是一致收敛的。
证明：由于?A0?a??a??af(x,y)g(x,y)dx
f(x,y)dx关于y?[c,d]是一致收敛的，则对于任意正数??0，存在
，当A?,A?A0时，成立
?A?Af(x,y)dx??。
因此，当A?,A?A0时，将y看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式
?A?Af(x,y)g(x,y)dx?g(A,y)??(y)Af(x,y)dx?g(A?,y)?A??(y)f(x,y)dx
因为对任意的x,y都有g(x,y)?L，则因此，???a?A?Af(x,y)g(x,y)dx?2L?。
f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上是一致收敛的，命题得证。
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